- Pour $a,b\in\mathbb Z$, montrer que $a\mathbb Z+b\mathbb Z=\{au+bv,\ u,v\in\mathbb Z\}$ et $a\mathbb Z\cap b\mathbb Z$ sont des sous-groupes de $\mathbb Z$.
- Montrer que $6\mathbb Z\cap15\mathbb Z=30\mathbb Z$.
- Montrer que $6\mathbb Z+15\mathbb Z=3\mathbb Z$.
- En déduire l'existence d'entiers $u,v$ tels que $6u+15v=3$, et en donner un couple.
Pour l'intersection, la propriété du cours sur les intersections suffit.
Pour la question 2, si $6k=15m$, simplifier par $3$ puis exprimer $k$ comme multiple de $5$.
Pour la question 3, trouver une combinaison de $6$ et $15$ égale à $3$, et factoriser $6u+15v$.
-
$0=a\cdot0+b\cdot0\in a\mathbb Z+b\mathbb Z$. Pour $x=au+bv$ et $y=au'+bv'$, $x-y=a(u-u')+b(v-v')\in a\mathbb Z+b\mathbb Z$. C'est un sous-groupe de $\mathbb Z$. L'intersection $a\mathbb Z\cap b\mathbb Z$ est une intersection de deux sous-groupes, donc un sous-groupe.
-
Si $x=30k$, alors $x=6(5k)=15(2k)$ : $30\mathbb Z\subset6\mathbb Z\cap15\mathbb Z$. Réciproquement, soit $x=6k=15m$ avec $k,m\in\mathbb Z$. En divisant par $3$ : $2k=5m$. Alors $$k=6k-5k=3(2k)-5k=15m-5k=5(3m-k),$$ donc $x=6k=30(3m-k)\in30\mathbb Z$. D'où $6\mathbb Z\cap15\mathbb Z=30\mathbb Z$.
-
Pour $u,v\in\mathbb Z$, $6u+15v=3(2u+5v)\in3\mathbb Z$ : $6\mathbb Z+15\mathbb Z\subset3\mathbb Z$. Réciproquement, $3=6\times(-2)+15\times1\in6\mathbb Z+15\mathbb Z$, et ce sous-groupe contient donc tous les multiples de $3$ : $3\mathbb Z\subset6\mathbb Z+15\mathbb Z$. D'où l'égalité.
-
Comme $3\in3\mathbb Z=6\mathbb Z+15\mathbb Z$, il existe $u,v\in\mathbb Z$ avec $6u+15v=3$. Par exemple $(u,v)=(-2,1)$ : $-12+15=3$. On retrouve que $3$ est le PGCD de $6$ et $15$ et $30$ leur PPCM.
$6\mathbb Z\cap15\mathbb Z=30\mathbb Z$ ; $6\mathbb Z+15\mathbb Z=3\mathbb Z$ ; par exemple $(u,v)=(-2,1)$