Prépa, 1re année › Structures algébriques usuelles › Sous-groupe
Sous-groupe : définition (MPSI)
Définition
Sous-groupe
Soit $(G,\cdot)$ un groupe de neutre $e$. Une partie $H\subset G$ est un sous-groupe de $G$ si :
- $e\in H$ ;
- $\forall x,y\in H,\ xy\in H$ (stabilité par la loi) ;
- $\forall x\in H,\ x^{-1}\in H$ (stabilité par passage au symétrique).
Alors $H$, muni de la loi induite, est un groupe. Son neutre est $e$ et le symétrique d'un élément est le même dans $H$ et dans $G$.
S’entraîner
- Sous-groupes de $(\mathbb C^*,\times)$ ou non
- Sous-anneaux de $\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$
- Inversibles et diviseurs de zéro dans $\mathbb Z\times\mathbb R$
- La loi $\frac{x+y}{1+xy}$ sur $]-1,1[$
- Intersection et somme de deux sous-groupes de $\mathbb Z$