Sous-groupes de $\mathbb Z$ : énoncé (MPSI)

On a vu que chaque $n\mathbb Z$ est un sous-groupe. Réciproquement, soit $H$ un sous-groupe de $\mathbb Z$.

Si $H=\{0\}$, alors $H=0\mathbb Z$.

Sinon, $H$ contient un $x\neq0$, donc aussi $-x$ : $H\cap\mathbb N^*$ est une partie non vide de $\mathbb N$. Elle admet un plus petit élément $n\geq1$.

• $n\mathbb Z\subset H$ : par récurrence, $kn\in H$ pour tout $k\in\mathbb N$ (car $(k+1)n=kn+n$), puis $-kn\in H$ par passage à l'opposé.
• $H\subset n\mathbb Z$ : soit $x\in H$. La division euclidienne donne $x=nq+r$ avec $q\in\mathbb Z$ et $0\leq r<n$. Alors $r=x-nq$ est dans $H$, comme différence de deux éléments de $H$. Si $r\geq1$, on aurait un élément de $H\cap\mathbb N^*$ strictement inférieur à $n$ : contradiction. Donc $r=0$ et $x\in n\mathbb Z$.

Ainsi $H=n\mathbb Z$.

Unicité. $0\mathbb Z=\{0\}$, et pour $n\geq1$, $n$ est le plus petit élément strictement positif de $n\mathbb Z$. Donc $n$ est déterminé par $H$.