Prépa, 1re année › Structures algébriques usuelles › Caractérisation des sous-groupes

Caractérisation des sous-groupes : énoncé (MPSI)

Théorème

Caractérisation des sous-groupes

Une partie $H$ de $G$ est un sous-groupe de $G$ si et seulement si $$H\neq\varnothing\qquad\text{et}\qquad\forall x,y\in H,\ xy^{-1}\in H.$$ En notation additive, la condition devient : $H\neq\varnothing$ et $\forall x,y\in H,\ x-y\in H$.

Démonstration : Caractérisation des sous-groupes

Démonstration

Caractérisation des sous-groupes

Sens direct. Si $H$ est un sous-groupe, $e\in H$ donc $H\neq\varnothing$. Pour $x,y\in H$, on a $y^{-1}\in H$ par le point 3, puis $xy^{-1}\in H$ par le point 2.

Réciproque. Soit $a\in H$ (il en existe un car $H\neq\varnothing$).

Avec $x=y=a$ : $aa^{-1}=e\in H$.
Pour $y\in H$, avec $x=e$ : $ey^{-1}=y^{-1}\in H$.
Pour $x,y\in H$ : $y^{-1}\in H$, donc $x(y^{-1})^{-1}=xy\in H$.

Les trois conditions de la définition sont vérifiées.

Exemple

Sous-groupes classiques

$\{e\}$ et $G$ sont des sous-groupes de $G$, dits triviaux.
Pour $n\in\mathbb N$, $n\mathbb Z=\{nk,\ k\in\mathbb Z\}$ est un sous-groupe de $(\mathbb Z,+)$ : il contient $0$, et $nk-nk'=n(k-k')\in n\mathbb Z$.
$\mathbb U$ est un sous-groupe de $(\mathbb C^*,\times)$ : $1\in\mathbb U$, et pour $z,w\in\mathbb U$, $|zw^{-1}|=|z|/|w|=1$.
$\mathbb U_n$ est un sous-groupe de $\mathbb U$ : $1^n=1$, et pour $z,w\in\mathbb U_n$, $(zw^{-1})^n=z^n(w^n)^{-1}=1$ (le groupe est abélien).
$\mathbb R_+^*$ est un sous-groupe de $(\mathbb R^*,\times)$, mais $\mathbb R_-^*$ n'en est pas un : $1\notin\mathbb R_-^*$, et $(-1)\times(-1)=1\notin\mathbb R_-^*$.
$\mathbb Z[\sqrt2]=\{a+b\sqrt2,\ a,b\in\mathbb Z\}$ est un sous-groupe de $(\mathbb R,+)$ : $0=0+0\sqrt2$, et $(a+b\sqrt2)-(c+d\sqrt2)=(a-c)+(b-d)\sqrt2$.

S’entraîner

Dans le cours

Structures algébriques usuelles : Caractérisation des sous-groupes