Intersection de sous-groupes : énoncé (MPSI)
Intersection de sous-groupes
Toute intersection d'une famille (finie ou non) de sous-groupes de $G$ est un sous-groupe de $G$.
Démonstration : Intersection de sous-groupes
Intersection de sous-groupes
Soit $(H_i)_{i\in I}$ une famille de sous-groupes, $I\neq\varnothing$, et $H=\bigcap_{i\in I}H_i$. Pour tout $i$, $e\in H_i$, donc $e\in H$. Soient $x,y\in H$. Pour tout $i$, $x,y\in H_i$, donc $xy^{-1}\in H_i$ car $H_i$ est un sous-groupe. Ainsi $xy^{-1}\in H$. Par la caractérisation, $H$ est un sous-groupe.
La réunion de deux sous-groupes n'est pas un sous-groupe en général
$2\mathbb Z\cup3\mathbb Z$ contient $2$ et $3$, mais pas $2+3=5$. Ce n'est pas un sous-groupe de $\mathbb Z$. On montre en exercice classique que $H\cup K$ est un sous-groupe si et seulement si $H\subset K$ ou $K\subset H$.
S’entraîner
- Sous-groupes de $(\mathbb C^*,\times)$ ou non
- Deux noyaux, deux images
- Sous-anneaux de $\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$
- Intersection et somme de deux sous-groupes de $\mathbb Z$
- Réunion de deux sous-groupes
Dans le cours
Structures algébriques usuelles : Intersection de sous-groupes