Prépa, 1re année › Structures algébriques usuelles › Montrer qu'une partie est un sous-groupe
Montrer qu'une partie est un sous-groupe : méthode (MPSI)
Méthode
Montrer qu'une partie est un sous-groupe
- Identifier le groupe ambiant $G$ et vérifier que $H\subset G$.
- Montrer que $e\in H$ (c'est la façon la plus simple de prouver $H\neq\varnothing$).
- Prendre $x,y\in H$ quelconques et montrer que $xy^{-1}\in H$ (ou $x-y\in H$ en notation additive).
- Conclure : $H$ est un sous-groupe de $G$, donc un groupe pour la loi induite.
Pour montrer qu'une partie n'est pas un sous-groupe, il suffit d'un contre-exemple : $e\notin H$, ou deux éléments dont le produit sort de $H$, ou un élément dont le symétrique sort de $H$.
S’entraîner
- Une loi translatée sur $\mathbb Z$
- Sous-groupes de $(\mathbb C^*,\times)$ ou non
- Deux noyaux, deux images
- Sous-anneaux de $\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$
- Inversibles et diviseurs de zéro dans $\mathbb Z\times\mathbb R$
Dans le cours
Structures algébriques usuelles : Montrer qu'une partie est un sous-groupe