Exercice corrigé : Trois conditions qui forcent la commutativité

Soit $(G,\cdot)$ un groupe de neutre $e$.

1. On suppose que $x^2=e$ pour tout $x\in G$. Montrer que $G$ est abélien.
2. On suppose que $(xy)^2=x^2y^2$ pour tous $x,y\in G$. Montrer que $G$ est abélien.
3. Montrer que l'application $\iota:x\mapsto x^{-1}$ est un endomorphisme de $G$ si et seulement si $G$ est abélien.
4. Donner un exemple de groupe à quatre éléments vérifiant l'hypothèse de la question 1, et vérifier que $S_3$ ne la vérifie pas.