- Recopier et compléter le tableau suivant, où $n$ désigne un entier relatif.
| $n \equiv \dots \;[8]$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $n^2 \equiv \dots \;[8]$ |
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En déduire que, pour tous entiers $a$, $b$, $c$, l'entier $a^2 + b^2 + c^2$ n'est jamais congru à $7$ modulo $8$.
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L'entier $2023$ peut-il s'écrire comme somme de trois carrés d'entiers ?
Pour chaque reste $r$, calculer $r^2$ puis le réduire modulo $8$.
D'après le tableau, un carré n'a que trois restes possibles modulo $8$. Envisager toutes les sommes de trois de ces restes.
Calculer le reste de $2023$ modulo $8$.
1. Si $n \equiv r \;[8]$, alors $n^2 \equiv r^2 \;[8]$. On calcule : $0^2 = 0$, $1^2 = 1$, $2^2 = 4$, $3^2 = 9 \equiv 1$, $4^2 = 16 \equiv 0$, $5^2 = 25 \equiv 1$, $6^2 = 36 \equiv 4$, $7^2 = 49 \equiv 1$.
| $n \equiv \dots \;[8]$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $n^2 \equiv \dots \;[8]$ | $0$ | $1$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ | $1$ |
Un carré est donc congru à $0$, $1$ ou $4$ modulo $8$.
2. $a^2$, $b^2$, $c^2$ sont chacun congrus à $0$, $1$ ou $4$ modulo $8$. L'ordre ne compte pas dans la somme ; on liste toutes les combinaisons :
- $0+0+0 = 0$ ; $0+0+1 = 1$ ; $0+1+1 = 2$ ; $1+1+1 = 3$ ;
- $0+0+4 = 4$ ; $0+1+4 = 5$ ; $1+1+4 = 6$ ;
- $0+4+4 = 8 \equiv 0$ ; $1+4+4 = 9 \equiv 1$ ; $4+4+4 = 12 \equiv 4$.
Les restes obtenus sont $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ : jamais $7$. Donc $a^2 + b^2 + c^2 \not\equiv 7 \;[8]$.
3. $2023 = 8 \times 252 + 7$, donc $2023 \equiv 7 \;[8]$. D'après la question 2, $2023$ ne peut pas s'écrire comme somme de trois carrés d'entiers.
n² ≡ 0, 1 ou 4 [8] ; 2023 n'est pas somme de trois carrés