a) Résoudre dans $[0\,;2\pi[$ l'inéquation $2\sin x - \sqrt{2} \geqslant 0$.
b) Résoudre dans $[0\,;2\pi[$ l'inéquation $2\cos x < \sqrt{3}$.
c) Résoudre la même inéquation $2\cos x < \sqrt{3}$ dans $]-\pi\,;\pi]$.
Se ramener à $\sin x \geqslant a$ ou $\cos x < a$, puis résoudre l'équation associée sur l'intervalle.
Tracer la droite $Y = a$ ou $X = a$ sur le cercle et repérer l'arc du bon côté.
Pour c), l'arc est le même sur le cercle, mais sa traduction en intervalles change avec l'intervalle imposé.
a) $2\sin x - \sqrt{2} \geqslant 0 \iff \sin x \geqslant \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Dans $[0\,;2\pi[$, l'équation $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ a pour solutions $\frac{\pi}{4}$ et $\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. Les points du cercle d'ordonnée au moins $\frac{\sqrt{2}}{2}$ forment l'arc supérieur entre ces deux points, qui contient le point associé à $\frac{\pi}{2}$. Les bornes sont incluses (inégalité large). $$S = \left[\frac{\pi}{4}\,;\frac{3\pi}{4}\right].$$
b) $2\cos x < \sqrt{3} \iff \cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Dans $[0\,;2\pi[$, l'équation $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ a pour solutions $\frac{\pi}{6}$ et $-\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$. Les points d'abscisse strictement inférieure à $\frac{\sqrt{3}}{2}$ forment l'arc de gauche, qui contient le point associé à $\pi$. En parcourant le cercle dans le sens direct de $\frac{\pi}{6}$ à $\frac{11\pi}{6}$ : $$S = \left]\frac{\pi}{6}\,;\frac{11\pi}{6}\right[.$$ Contrôle : cosinus décroît de $1$ à $-1$ sur $[0\,;\pi]$ et passe par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ en $\frac{\pi}{6}$ ; il croît de $-1$ à $1$ sur $[\pi\,;2\pi]$ et repasse par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ en $\frac{11\pi}{6}$.
c) Dans $]-\pi\,;\pi]$, l'équation a pour solutions $-\frac{\pi}{6}$ et $\frac{\pi}{6}$. L'arc de gauche correspond maintenant aux réels de $\left]\frac{\pi}{6}\,;\pi\right]$ et à ceux de $\left]-\pi\,;-\frac{\pi}{6}\right[$. $$S = \left]-\pi\,;-\frac{\pi}{6}\right[ \cup \left]\frac{\pi}{6}\,;\pi\right].$$
a) [π/4 ; 3π/4] ; b) ]π/6 ; 11π/6[ ; c) ]−π ; −π/6[ ∪ ]π/6 ; π]