Exercice corrigé : Iode radioactif en médecine

L'iode 131, utilisé en médecine nucléaire, a une demi-vie de $8$ jours. On note $N(t)$ le nombre de noyaux d'iode 131 présents dans un échantillon à l'instant $t$ (en jours), avec $N(0)=N_0>0$. On admet que $N'(t)=-\lambda N(t)$ pour tout $t\geqslant0$, où $\lambda>0$.

1. Exprimer $N(t)$ en fonction de $N_0$, $\lambda$ et $t$.
2. Sachant que $N(8)=\frac{N_0}{2}$, déterminer la valeur exacte de $\lambda$, puis une valeur approchée à $10^{-4}$ près.
3. Quel pourcentage des noyaux initiaux reste-t-il au bout de $30$ jours ? Arrondir à $0{,}1\,\%$.
4. Au bout de combien de jours reste-t-il moins de $1\,\%$ des noyaux initiaux ? Donner la valeur exacte du seuil puis un arrondi au dixième.