Dans l'esprit Mines-Ponts. Pour $n\in\mathbb N^*$, on pose $f_n(x)=x^n+x-1$.
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Montrer que l'équation $f_n(x)=0$ admet une unique solution $x_n$ dans $[0,1]$, et que $x_n\in]0,1[$.
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Montrer que la suite $(x_n)$ est strictement croissante.
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Montrer que $x_n\to1$.
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On pose $\varepsilon_n=1-x_n$. Montrer que $\varepsilon_n=x_n^n$, puis que $n\varepsilon_n\sim-\ln\varepsilon_n$. En déduire que $n\varepsilon_n\to+\infty$.
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On pose $L_n=-\ln\varepsilon_n$. Montrer que $\ln n=L_n+\ln L_n+o(1)$, puis que $L_n\sim\ln n$. En déduire un équivalent de $1-x_n$.
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Montrer que $L_n=\ln n-\ln(\ln n)+o(1)$, puis que $n\varepsilon_n=L_n+o(1)$. Conclure que $$x_n=1-\frac{\ln n}n+\frac{\ln(\ln n)}n+o\left(\frac1n\right).$$
Pour 2), calculer le signe de $f_{n+1}(x_n)$ en utilisant $x_n^n=1-x_n$.
Pour 3), raisonner par l'absurde sur la limite $\ell$ de la suite croissante majorée.
Pour 4), passer au logarithme dans $\varepsilon_n=(1-\varepsilon_n)^n$ et utiliser $\ln(1-\varepsilon)\sim-\varepsilon$.
Pour 5), écrire $n\varepsilon_n=L_n(1+\eta_n)$ avec $\eta_n\to0$ et prendre le logarithme ; utiliser $\ln L_n=o(L_n)$.
Pour 6), écrire $L_n=n\varepsilon_n\,\varphi(\varepsilon_n)$ avec $\varphi(\varepsilon)=\frac{-\ln(1-\varepsilon)}\varepsilon=1+O(\varepsilon)$, et montrer que $L_n\varepsilon_n\to0$.
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