Soit $g(x)=x+\ln x$ sur $]0,+\infty[$.
-
Montrer que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, l'équation $g(x)=n$ admet une unique solution $x_n\in]0,+\infty[$.
-
Montrer que $x_n>\frac n2$, puis que $x_n\sim n$.
-
Montrer que $x_n=n-\ln n+o(1)$.
-
Montrer que $x_n=n-\ln n+\dfrac{\ln n}n+o\left(\dfrac{\ln n}n\right)$.
$g$ est continue et strictement croissante : calculer ses limites aux bornes.
On rappelle que $\ln x\leq x-1<x$ pour $x>0$.
Réécrire l'équation sous la forme $x_n=n-\ln x_n$, puis $\ln x_n=\ln n+\ln\frac{x_n}n$.
Pour 4), poser $v_n=\frac{x_n}n-1$ et utiliser 3) pour en obtenir un équivalent.
-
$g$ est continue et strictement croissante sur $]0,+\infty[$ comme somme de deux fonctions strictement croissantes. Ses limites sont $-\infty$ en $0^+$ et $+\infty$ en $+\infty$. Par le théorème de la bijection, $g$ réalise une bijection de $]0,+\infty[$ sur $\mathbb R$ : pour tout $n$, l'équation $g(x)=n$ a une unique solution $x_n>0$.
-
Comme $\ln x_n<x_n$, on a $n=x_n+\ln x_n<2x_n$, donc $x_n>\frac n2$ et $x_n\to+\infty$. Par croissances comparées, $\frac{\ln x_n}{x_n}\to0$. En divisant $n=x_n+\ln x_n$ par $x_n$ : $\frac n{x_n}=1+\frac{\ln x_n}{x_n}\to1$, donc $x_n\sim n$.
-
L'équation s'écrit $x_n=n-\ln x_n$, avec $\ln x_n=\ln n+\ln\frac{x_n}n$. Comme $\frac{x_n}n\to1$, la continuité de $\ln$ en $1$ donne $\ln\frac{x_n}n\to0$. Ainsi $\ln x_n=\ln n+o(1)$ et $$x_n=n-\ln n+o(1).$$
-
Posons $v_n=\frac{x_n}n-1$. D'après 3), $v_n=-\frac{\ln n}n+o\left(\frac1n\right)$. Comme $\frac1n=o\left(\frac{\ln n}n\right)$, on obtient $v_n\sim-\frac{\ln n}n$, et en particulier $v_n\to0$. Par substitution dans $\ln(1+v)\underset{v\to0}{\sim}v$ : $$\ln\frac{x_n}n=\ln(1+v_n)\sim v_n\sim-\frac{\ln n}n,\quad\text{donc}\quad\ln\frac{x_n}n=-\frac{\ln n}n+o\left(\frac{\ln n}n\right).$$ En réinjectant dans $x_n=n-\ln n-\ln\frac{x_n}n$ : $$x_n=n-\ln n+\frac{\ln n}n+o\left(\frac{\ln n}n\right).$$
$x_n=n-\ln n+\frac{\ln n}n+o\left(\frac{\ln n}n\right)$