Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n \geq 1$ et $u \in \mathcal{L}(E)$. Pour $k \in \mathbb{N}$, on note $u^k$ la composée de $u$ par elle-même $k$ fois ($u^0 = \mathrm{id}_E$), $N_k = \operatorname{Ker} u^k$, $I_k = \operatorname{Im} u^k$ et $d_k = \dim N_k$.
- Montrer que $N_k \subset N_{k+1}$ et $I_{k+1} \subset I_k$ pour tout $k \in \mathbb{N}$.
- Soit $k \in \mathbb{N}$. Montrer que $u(I_k) = I_{k+1}$, puis, en appliquant le théorème du rang à la restriction de $u$ à $I_k$, que $$d_{k+1} - d_k = \dim(\operatorname{Ker} u \cap I_k).$$
- En déduire que la suite $(d_{k+1} - d_k)_{k \in \mathbb{N}}$ est décroissante.
- Montrer qu'il existe $p \in \{0, \dots, n\}$ tel que $d_{p+1} = d_p$, puis que $N_k = N_p$ et $I_k = I_p$ pour tout $k \geq p$.
- Montrer que $E = N_p \oplus I_p$.
- a) On suppose qu'il existe $m \in \mathbb{N}$ tel que $u^m = 0$. Montrer que $u^n = 0$. b) Existe-t-il $u \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^5)$ tel que $\dim \operatorname{Ker} u = 1$ et $\dim \operatorname{Ker} u^2 = 3$ ?
Écrire $u^{k+1} = u \circ u^k = u^k \circ u$ selon l'inclusion voulue.
La restriction $w_k : I_k \to I_{k+1}$ est surjective, de noyau $\operatorname{Ker} u \cap I_k$ ; exprimer aussi $\dim I_k$ à l'aide de $d_k$.
Pour la question 4, les $n + 1$ entiers $d_{k+1} - d_k$, $0 \leq k \leq n$, sont positifs de somme $d_{n+1} \leq n$.
Pour l'intersection dans la question 5, écrire $x = u^p(y)$ et utiliser $N_{2p} = N_p$.
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