Exercice corrigé : Noyau d'une composée et inégalité de Sylvester

1. $K$ est un sous-espace de $E$, donc de dimension finie. Pour $x \in K$, $v(w(x)) = v(u(x)) = 0$, donc $w(x) \in \operatorname{Ker} v$ : $w(K) \subset \operatorname{Ker} v$.

On a $\operatorname{Ker} w = \{x \in K : u(x) = 0\} = K \cap \operatorname{Ker} u$. Or $\operatorname{Ker} u \subset K$ : si $u(x) = 0$, alors $v(u(x)) = v(0) = 0$. Donc $\operatorname{Ker} w = \operatorname{Ker} u$.

2. Le théorème du rang appliqué à $w \in \mathcal{L}(K, F)$ donne $$\dim K = \dim \operatorname{Ker} w + \operatorname{rg} w = \dim \operatorname{Ker} u + \dim w(K).$$ Comme $w(K) \subset \operatorname{Ker} v$, sous-espace de $F$ de dimension finie, $\dim w(K) \leq \dim \operatorname{Ker} v$. D'où $\dim \operatorname{Ker}(v \circ u) \leq \dim \operatorname{Ker} u + \dim \operatorname{Ker} v$.

3. Par le théorème du rang appliqué à $v \circ u$, $u$ et $v$ (tous de source $E$ de dimension $n$) : $$n - \operatorname{rg}(v \circ u) \leq (n - \operatorname{rg} u) + (n - \operatorname{rg} v),$$ ce qui s'écrit $\operatorname{rg} u + \operatorname{rg} v - n \leq \operatorname{rg}(v \circ u)$.

4. Si $v \circ u = 0$, alors $\operatorname{rg}(v \circ u) = 0$ et la question 3 donne $\operatorname{rg} u + \operatorname{rg} v \leq n$. (On peut aussi le voir directement : $\operatorname{Im} u \subset \operatorname{Ker} v$, donc $\operatorname{rg} u \leq n - \operatorname{rg} v$.)

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