Montrer qu'un endomorphisme est un isomorphisme par l'injectivitéExpliciter un antécédent
Soit $n \in \mathbb{N}$ et $\varphi : \mathbb{R}_n[X] \to \mathbb{R}_n[X]$, $P \mapsto P + P'$.
- Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$.
- Montrer que $\varphi$ est un isomorphisme.
- Pour $n = 2$, déterminer l'unique $P$ tel que $P + P' = X^2$.
- Montrer que, pour tout $Q \in \mathbb{R}_n[X]$, $\varphi^{-1}(Q) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} (-1)^k Q^{(k)}$.
Indice 1
Pour l'injectivité, comparer les degrés de $P$ et de $P'$ lorsque $P \neq 0$.
Indice 2
Espace de départ et d'arrivée sont les mêmes, de dimension finie : l'injectivité suffit.
Indice 3
Pour la dernière question, calculer $P + P'$ pour le $P$ proposé et utiliser $Q^{(n+1)} = 0$.
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