Soit $n\geqslant1$. Pour $P,Q\in\mathbb{R}_n[X]$, on pose $$\langle P,Q\rangle=\sum_{k=0}^nP(k)Q(k).$$
- Montrer que $\langle\cdot,\cdot\rangle$ est un produit scalaire sur $\mathbb{R}_n[X]$.
- Pour $k\in\{0,\dots,n\}$, on note $L_k=\displaystyle\prod_{j=0,\,j\neq k}^n\frac{X-j}{k-j}$. a) Calculer $L_k(j)$ pour $j\in\{0,\dots,n\}$. b) Montrer que $(L_0,\dots,L_n)$ est une base orthonormée de $\mathbb{R}_n[X]$. c) En déduire les coordonnées d'un polynôme $P$ dans cette base.
- On note $H=\Big\{P\in\mathbb{R}_n[X] : \displaystyle\sum_{k=0}^nP(k)=0\Big\}$. a) Montrer que $H$ est un hyperplan de $\mathbb{R}_n[X]$ et en donner un vecteur normal. b) Déterminer la projection orthogonale de $X$ sur $H$ et la distance $d(X,H)$.
- Dans cette question, $n=2$. Déterminer $$\min_{(a,b)\in\mathbb{R}^2}\sum_{k=0}^2\big(k^2-ak-b\big)^2$$ et le couple $(a,b)$ qui le réalise. Interpréter géométriquement.
Pour le caractère défini, compter les racines d'un polynôme de degré au plus $n$.
Dans une base orthonormée, la coordonnée de $P$ sur $L_k$ est $\langle L_k,P\rangle$.
Reconnaître dans la condition définissant $H$ un produit scalaire avec un polynôme constant.
Pour la question 4, écrire la somme comme $\|X^2-(aX+b)\|^2$ et utiliser la méthode B avec la base $(1,X)$.
1. L'application est à valeurs réelles et symétrique. Pour $Q$ fixé, $P\mapsto\sum_kP(k)Q(k)$ est linéaire, car l'évaluation $P\mapsto P(k)$ l'est ; par symétrie, elle est bilinéaire. Positivité : $\langle P,P\rangle=\sum_kP(k)^2\geqslant0$. Caractère défini : si $\sum_kP(k)^2=0$, chaque $P(k)$ est nul ; $P$ admet les $n+1$ racines distinctes $0,1,\dots,n$ et $\deg P\leqslant n$, donc $P=0$. C'est un produit scalaire.
2.a) Si $j\neq k$, le facteur d'indice $j$ s'annule en $j$, donc $L_k(j)=0$. Si $j=k$, chaque facteur vaut $\frac{k-i}{k-i}=1$, donc $L_k(k)=1$. Ainsi $L_k(j)=\delta_{kj}$. Comme produit de $n$ facteurs de degré $1$, $L_k\in\mathbb{R}_n[X]$.
2.b) $\langle L_i,L_j\rangle=\sum_{k=0}^nL_i(k)L_j(k)=\sum_k\delta_{ik}\delta_{jk}=\delta_{ij}$. La famille est orthonormée, donc libre ; elle compte $n+1=\dim\mathbb{R}_n[X]$ vecteurs : c'est une base orthonormée.
2.c) Dans une base orthonormée, $P=\sum_k\langle L_k,P\rangle L_k$ avec $\langle L_k,P\rangle=\sum_jL_k(j)P(j)=P(k)$. Donc $P=\sum_{k=0}^nP(k)L_k$ : les coordonnées sont $P(0),\dots,P(n)$ (formule d'interpolation de Lagrange).
3.a) $\langle 1,P\rangle=\sum_kP(k)$, donc $H=\{1\}^\perp=\operatorname{Vect}(1)^\perp$. Le polynôme $1$ est non nul et l'espace est euclidien de dimension $n+1$ : $\dim H=n$. $H$ est un hyperplan de vecteur normal $1$.
3.b) $\|1\|^2=n+1$ et $\langle 1,X\rangle=\sum_{k=0}^nk=\frac{n(n+1)}2$. Par la formule de projection sur un hyperplan : $$p_H(X)=X-\frac{\langle1,X\rangle}{\|1\|^2}\cdot1=X-\frac n2,\qquad d(X,H)=\frac{|\langle1,X\rangle|}{\|1\|}=\frac{n(n+1)}{2\sqrt{n+1}}=\frac{n\sqrt{n+1}}2.$$ Contrôle : $\sum_{k=0}^n\left(k-\frac n2\right)=\frac{n(n+1)}2-\frac{n(n+1)}2=0$, donc $p_H(X)\in H$.
4. Pour $n=2$, la somme vaut $\|X^2-(aX+b)\|^2$ dans $\mathbb{R}_2[X]$. Quand $(a,b)$ décrit $\mathbb{R}^2$, $aX+b$ décrit $F=\mathbb{R}_1[X]$, de dimension finie. Le minimum est $d(X^2,F)^2$, atteint uniquement en $p_F(X^2)=aX+b$ caractérisé par $X^2-aX-b\perp1$ et $X^2-aX-b\perp X$.
Produits scalaires utiles : $\langle1,1\rangle=3$, $\langle1,X\rangle=3$, $\langle X,X\rangle=5$, $\langle1,X^2\rangle=5$, $\langle X,X^2\rangle=9$. Le système s'écrit $$\begin{cases}5-3a-3b=0\\9-5a-3b=0\end{cases}$$ Par soustraction, $4-2a=0$, donc $a=2$, puis $b=\frac{5-6}{3}=-\frac13$.
Le reste $R=X^2-2X+\frac13$ prend les valeurs $\frac13,-\frac23,\frac13$ en $0,1,2$. Donc $$\min=\|R\|^2=\frac19+\frac49+\frac19=\frac23.$$ Interprétation : $y=2x-\frac13$ est la droite des moindres carrés du nuage de points $(0,0),(1,1),(2,4)$ ; la somme des carrés des écarts verticaux minimale vaut $\frac23$.
$p_H(X)=X-\frac n2$, $d(X,H)=\frac{n\sqrt{n+1}}{2}$ ; pour $n=2$ : minimum $\frac23$ en $(a,b)=\left(2,-\frac13\right)$