Prépa, 1re année › Limites et continuité › Prouver une limite finie avec la définition
Prouver une limite finie avec la définition : méthode (MPSI)
Méthode
Prouver une limite finie avec la définition
- Écrire $|f(x) - \ell|$ et le factoriser ou le transformer pour faire apparaître $|x - a|$.
- Se restreindre à un voisinage fixé de $a$ (par exemple $|x-a| \leq 1$) sur lequel les autres facteurs sont bornés : on obtient $|f(x) - \ell| \leq C\,|x-a|$ ou une majoration du même type.
- Choisir $\eta$ comme le minimum de la restriction initiale et de la valeur qui rend la majoration inférieure à $\varepsilon$.
- Rédiger dans l'ordre : « Soit $\varepsilon > 0$. Posons $\eta = \dots$ Soit $x \in I$ tel que $|x-a| \leq \eta$. Alors $\dots \leq \varepsilon$. »
En pratique, on n'utilise la définition que lorsque les opérations et les théorèmes de comparaison ne suffisent pas.
S’entraîner
- Une limite démontrée avec la définition
- Absence de limite et prolongement : $\sin(\ln x)$
- Suite récurrente $u_{n+1} = 1 + \frac{u_n^2}{4}$
- Limite finie à l'infini et continuité uniforme
- Suite de racines de $x^n + x - 1 = 0$ (type CCINP)
Dans le cours
Limites et continuité : Prouver une limite finie avec la définition