Limite finie implique bornée au voisinage : énoncé (MPSI)
Limite finie implique bornée au voisinage
Si $f$ admet une limite finie $\ell$ en $a$, alors $f$ est bornée au voisinage de $a$.
Démonstration : Limite finie implique bornée au voisinage
Preuve
Cas $a$ réel. Avec $\varepsilon = 1$, il existe $\eta > 0$ tel que pour tout $x \in I \cap [a-\eta, a+\eta]$, $|f(x) - \ell| \leq 1$, donc $|f(x)| \leq |\ell| + 1$. La fonction $f$ est bornée par $|\ell|+1$ sur le voisinage $[a-\eta, a+\eta]$. Le cas $a = \pm\infty$ est identique avec $[B, +\infty[$ ou $]-\infty, B]$.
Une limite prouvée avec $\varepsilon$
Montrons que $\lim\limits_{x \to 2} x^2 = 4$.
Pour tout réel $x$, $|x^2 - 4| = |x-2|\,|x+2|$. Si $|x - 2| \leq 1$, alors $x \in [1,3]$ donc $|x+2| \leq 5$, et $|x^2-4| \leq 5|x-2|$.
Soit $\varepsilon > 0$. Posons $\eta = \min\left(1, \frac{\varepsilon}{5}\right) > 0$. Si $|x - 2| \leq \eta$, alors $|x-2| \leq 1$ et $|x^2 - 4| \leq 5|x-2| \leq 5 \cdot \frac{\varepsilon}{5} = \varepsilon$. La définition est vérifiée.
S’entraîner
- Une limite démontrée avec la définition
- Absence de limite et prolongement : $\sin(\ln x)$
- Suite récurrente $u_{n+1} = 1 + \frac{u_n^2}{4}$
- Fonctions continues périodiques
- Limite finie à l'infini et continuité uniforme
Dans le cours
Limites et continuité : Limite finie implique bornée au voisinage