Prépa, 1re année › Nombres complexes › Technique de l'angle moitié

Technique de l'angle moitié : méthode (MPSI)

Méthode

Technique de l'angle moitié

Pour factoriser $e^{ia}\pm e^{ib}$, on met en facteur $e^{i\frac{a+b}{2}}$ : $$e^{ia}+e^{ib}=e^{i\frac{a+b}{2}}\left(e^{i\frac{a-b}{2}}+e^{-i\frac{a-b}{2}}\right)=2\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)e^{i\frac{a+b}{2}},$$ $$e^{ia}-e^{ib}=2i\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)e^{i\frac{a+b}{2}}.$$ Cas particuliers fréquents : $1+e^{i\theta}=2\cos\left(\frac\theta2\right)e^{i\theta/2}$ et $1-e^{i\theta}=-2i\sin\left(\frac\theta2\right)e^{i\theta/2}$. On en déduit module et argument, ou les formules de factorisation $\cos p+\cos q=2\cos\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$ (partie réelle de la première formule).

Exemple

Somme de cosinus

Soit $n\in\mathbb{N}$ et $\theta\in\mathbb{R}\setminus2\pi\mathbb{Z}$. On calcule $C_n=\sum_{k=0}^{n}\cos(k\theta)=\mathrm{Re}\left(\sum_{k=0}^{n}e^{ik\theta}\right)$. Comme $e^{i\theta}\neq 1$, la somme géométrique vaut $$\sum_{k=0}^{n}\left(e^{i\theta}\right)^k=\frac{e^{i(n+1)\theta}-1}{e^{i\theta}-1}=\frac{e^{i(n+1)\theta/2}\cdot 2i\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{e^{i\theta/2}\cdot2i\sin\frac{\theta}{2}}=e^{in\theta/2}\,\frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac\theta2}.$$ Le quotient de sinus est réel, donc $$C_n=\frac{\cos\left(\frac{n\theta}{2}\right)\sin\left(\frac{(n+1)\theta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}.$$ Contrôle pour $n=1$ : $\dfrac{\cos\frac\theta2\sin\theta}{\sin\frac\theta2}=2\cos^2\frac\theta2=1+\cos\theta$.

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Nombres complexes : Technique de l'angle moitié