Utiliser la densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$Raisonner par l'absurdeRaisonner par récurrence
Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction croissante telle que $$\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2,\quad f(x + y) = f(x) + f(y).$$ On pose $a = f(1)$.
- Montrer que $f(0) = 0$ et que $f(-x) = -f(x)$ pour tout réel $x$.
- Montrer que $f(kx) = k f(x)$ pour tout réel $x$ et tout $k \in \mathbb{Z}$.
- Montrer que $f(r) = ar$ pour tout $r \in \mathbb{Q}$.
- Montrer que $a \ge 0$.
- Montrer que $f(x) = ax$ pour tout réel $x$.
Indice 1
Pour 1, prendre $x = y = 0$, puis $y = -x$.
Indice 2
Pour 3, écrire $r = \frac pq$ avec $p \in \mathbb{Z}$, $q \in \mathbb{N}^*$, et calculer $q f(r)$ de deux façons.
Indice 3
Pour 5, raisonner par l'absurde : si $f(x) < ax$ avec $a > 0$, placer un rationnel entre $\frac{f(x)}{a}$ et $x$, puis utiliser la croissance. Traiter à part le cas $a = 0$.
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