Exercice corrigé : Coefficient dominant d'un polynôme d'interpolation et sommes alternées (type Mines-Ponts)

Soit $n\geq 1$ et $x_0,\dots,x_n$ des éléments deux à deux distincts de $\mathbb{K}$. On pose $$W=\prod_{j=0}^{n}(X-x_j),\qquad W_i=\prod_{\substack{j=0\\ j\neq i}}^{n}(X-x_j)\quad(0\leq i\leq n),$$ et on note $L_0,\dots,L_n$ les polynômes de Lagrange associés aux $x_i$.

1. Montrer que $W'(x_i)=\prod_{j\neq i}(x_i-x_j)\neq 0$, puis que $L_i=\dfrac{W_i}{W'(x_i)}$. Quel est le coefficient de $X^n$ dans $L_i$ ?

2. Soit $P\in\mathbb{K}_n[X]$. Montrer que le coefficient de $X^n$ dans $P$ vaut $\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\frac{P(x_i)}{W'(x_i)}$.

3. En déduire, pour $k\in\{0,\dots,n\}$, la valeur de $\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\frac{x_i^k}{W'(x_i)}$ (avec la convention $x^0=1$).

4. Montrer que $\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\frac{x_i^{n+1}}{W'(x_i)}=\sum_{i=0}^{n}x_i$.

5. Application : on prend $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ et $x_i=i$ pour $0\leq i\leq n$. Calculer $W'(i)$, puis, pour $k\in\{0,\dots,n+1\}$, la somme $$S_k=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}\binom ni\,i^k.$$