On définit une suite $(T_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de polynômes de $\mathbb{R}[X]$ par $T_0=1$, $T_1=X$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $$T_{n+2}=2XT_{n+1}-T_n.$$
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Calculer $T_2$, $T_3$ et $T_4$.
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Montrer que pour tout $n\geq 1$, $T_n$ est de degré $n$ et de coefficient dominant $2^{n-1}$.
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Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$ et tout $\theta\in\mathbb{R}$, $T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)$.
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Montrer que $T_n$ est l'unique polynôme $P\in\mathbb{R}[X]$ tel que $P(\cos\theta)=\cos(n\theta)$ pour tout $\theta\in\mathbb{R}$.
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Soit $n\geq 1$. Pour $0\leq k\leq n-1$, on pose $x_k=\cos\dfrac{(2k+1)\pi}{2n}$. Montrer que les $x_k$ sont $n$ racines distinctes de $T_n$ et en déduire $$T_n=2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1}(X-x_k).$$
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Soit $m\geq 1$. En calculant $T_{2m}(0)$ de deux façons, montrer que $$\prod_{k=0}^{2m-1}\cos\frac{(2k+1)\pi}{4m}=\frac{(-1)^m}{2^{2m-1}}.$$
Pour la question 2, faire une récurrence double : supposer le résultat pour $T_n$ et $T_{n+1}$, et comparer les degrés de $2XT_{n+1}$ et de $T_n$.
Pour la question 3, utiliser $\cos((n+2)\theta)+\cos(n\theta)=2\cos\theta\cos((n+1)\theta)$.
Pour la question 4, tout réel de $[-1,1]$ est un cosinus. Pour la question 5, $\cos$ est injective sur $[0,\pi]$. Pour la question 6, utiliser $\prod x_k=(-1)^n\frac{a_0}{a_n}$ et la question 3 avec $\theta=\frac\pi2$.
1. $$T_2=2X\cdot X-1=2X^2-1,\qquad T_3=2X(2X^2-1)-X=4X^3-3X,$$ $$T_4=2X(4X^3-3X)-(2X^2-1)=8X^4-8X^2+1.$$
2. Récurrence double. Pour $n\geq 1$, notons $\mathcal{H}_n$ : « $\deg T_n=n$ et le coefficient dominant de $T_n$ est $2^{n-1}$ ». $\mathcal{H}_1$ et $\mathcal{H}_2$ sont vraies ($T_1=X$, $T_2=2X^2-1$). Soit $n\geq 1$ tel que $\mathcal{H}_n$ et $\mathcal{H}_{n+1}$ soient vraies. Alors $2XT_{n+1}$ est de degré $n+2$ et de coefficient dominant $2\cdot 2^n=2^{n+1}$, tandis que $\deg T_n=n<n+2$. Donc $T_{n+2}=2XT_{n+1}-T_n$ est de degré $n+2$ et de coefficient dominant $2^{n+1}$ : $\mathcal{H}_{n+2}$ est vraie. Par récurrence, $\mathcal{H}_n$ est vraie pour tout $n\geq 1$.
3. Fixons $\theta\in\mathbb{R}$. Récurrence double : $T_0(\cos\theta)=1=\cos 0$ et $T_1(\cos\theta)=\cos\theta$. Si la propriété est vraie aux rangs $n$ et $n+1$, alors, par la formule $\cos(a+b)+\cos(a-b)=2\cos a\cos b$ avec $a=(n+1)\theta$ et $b=\theta$ : $$T_{n+2}(\cos\theta)=2\cos\theta\cos((n+1)\theta)-\cos(n\theta)=\cos((n+2)\theta)+\cos(n\theta)-\cos(n\theta)=\cos((n+2)\theta).$$ La propriété est donc vraie pour tout $n$.
4. $T_n$ convient d'après la question 3. Si $P$ convient aussi, alors pour tout $x\in[-1,1]$, en écrivant $x=\cos\theta$ avec $\theta=\arccos x$, on a $(P-T_n)(x)=\cos(n\theta)-\cos(n\theta)=0$. Le polynôme $P-T_n$ a une infinité de racines, donc il est nul : $P=T_n$.
5. Les réels $\theta_k=\frac{(2k+1)\pi}{2n}$, $0\leq k\leq n-1$, sont deux à deux distincts et appartiennent à $]0,\pi[$ (car $0<2k+1\leq 2n-1<2n$). Comme $\cos$ est strictement décroissante sur $[0,\pi]$, les $x_k=\cos\theta_k$ sont deux à deux distincts. De plus $T_n(x_k)=\cos(n\theta_k)=\cos\frac{(2k+1)\pi}{2}=0$.
Les $x_k$ étant $n$ racines distinctes, $\prod_{k=0}^{n-1}(X-x_k)$ divise $T_n$. Ce produit est de degré $n=\deg T_n$ : le quotient est une constante, égale au coefficient dominant $2^{n-1}$ de $T_n$. Donc $T_n=2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1}(X-x_k)$, et ses racines sont simples et appartiennent à $]-1,1[$.
6. Soit $n=2m$. D'une part, la question 3 avec $\theta=\frac\pi2$ donne $T_{2m}(0)=\cos(m\pi)=(-1)^m$. D'autre part, par la factorisation de la question 5 : $$T_{2m}(0)=2^{2m-1}\prod_{k=0}^{2m-1}(0-x_k)=2^{2m-1}(-1)^{2m}\prod_{k=0}^{2m-1}x_k=2^{2m-1}\prod_{k=0}^{2m-1}x_k.$$ En égalant, et comme $x_k=\cos\frac{(2k+1)\pi}{4m}$ : $$\prod_{k=0}^{2m-1}\cos\frac{(2k+1)\pi}{4m}=\frac{(-1)^m}{2^{2m-1}}.$$ Contrôle pour $m=1$ : $\cos\frac\pi4\cos\frac{3\pi}4=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=-\frac12$.
$T_2=2X^2-1$, $T_3=4X^3-3X$, $T_4=8X^4-8X^2+1$ ; $T_n=2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1}\left(X-\cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}\right)$ ; produit $=\frac{(-1)^m}{2^{2m-1}}$