Prépa, 1re année › Polynômes › Calculer un reste à l'aide des racines du diviseur
Calculer un reste à l'aide des racines du diviseur : méthode (MPSI)
Méthode
Calculer un reste à l'aide des racines du diviseur
Pour obtenir le reste $R$ de la division de $A$ par $B$ sans poser la division :
- Écrire $A=BQ+R$ avec $R$ de degré $<\deg B$, à coefficients inconnus (par exemple $R=\alpha X+\beta$ si $\deg B=2$).
- Évaluer en chaque racine $x_i$ de $B$ : $A(x_i)=R(x_i)$.
- Si $x_i$ est racine multiple de $B$, dériver l'égalité $A=BQ+R$ et évaluer en $x_i$ (voir section suivante).
- Résoudre le système obtenu.
Exemple
Reste de X^n par X^2−3X+2
Soit $n\in\mathbb{N}$. On a $X^2-3X+2=(X-1)(X-2)$. On écrit $X^n=(X-1)(X-2)Q+\alpha X+\beta$.
En $1$ : $1=\alpha+\beta$. En $2$ : $2^n=2\alpha+\beta$. Par soustraction, $\alpha=2^n-1$, puis $\beta=2-2^n$. Donc $$R=(2^n-1)X+2-2^n .$$ Contrôle pour $n=2$ : $R=3X-2$ et en effet $X^2=(X^2-3X+2)+3X-2$.
S’entraîner
- Degré et coefficient dominant
- Poser une division euclidienne
- Multiplicité d'une racine et factorisation
- Sommes symétriques des racines d'un polynôme de degré 3
- Reste de X^n par un diviseur ayant une racine double
Dans le cours
Polynômes : Calculer un reste à l'aide des racines du diviseur