Prépa, 1re année › Polynômes › Nombre de racines
Nombre de racines : énoncé (MPSI)
Théorème
Nombre de racines
Si $a_1,\dots,a_p$ sont des racines deux à deux distinctes de $P$, alors $\prod_{i=1}^{p}(X-a_i)$ divise $P$.
En conséquence, un polynôme non nul de degré $n$ a au plus $n$ racines distinctes.
Démonstration : Nombre de racines
Démonstration
Nombre de racines
Récurrence sur $p$. Pour $p=1$, c'est la propriété précédente. Supposons $P=\prod_{i=1}^{p}(X-a_i)\,Q$ et $a_{p+1}$ racine distincte des précédentes. En évaluant en $a_{p+1}$ : $0=\prod_{i=1}^{p}(a_{p+1}-a_i)\,Q(a_{p+1})$, et le produit est non nul car les $a_i$ sont distincts. Donc $Q(a_{p+1})=0$, puis $Q=(X-a_{p+1})Q_1$, ce qui donne $\prod_{i=1}^{p+1}(X-a_i)\mid P$.
Si $P\neq 0$ a $p$ racines distinctes, il est divisible par un polynôme de degré $p$, donc $p\leq\deg P$.
S’entraîner
- Sommes symétriques des racines d'un polynôme de degré 3
- Reste de X^n par un diviseur ayant une racine double
- Factorisation de X^6+8 et de X^4+X^2+1
- Les racines de la somme partielle de l'exponentielle sont simples
- Divisibilité par X^2+X+1