Racines comptées avec multiplicité : énoncé (MPSI)
Racines comptées avec multiplicité
Si $a_1,\dots,a_p$ sont des racines distinctes de $P\neq 0$, de multiplicités respectives $m_1,\dots,m_p$, alors $$\prod_{i=1}^{p}(X-a_i)^{m_i}\ \Big|\ P\qquad\text{et donc}\qquad \sum_{i=1}^p m_i\leq\deg P .$$ Autrement dit, un polynôme non nul de degré $n$ a au plus $n$ racines comptées avec leur multiplicité.
Démonstration : Racines comptées avec multiplicité
Racines comptées avec multiplicité
Récurrence sur $p$, le cas $p=1$ étant la définition. Supposons $P=\prod_{i=1}^{p-1}(X-a_i)^{m_i}\,Q$. Notons $D=\prod_{i=1}^{p-1}(X-a_i)^{m_i}$, qui vérifie $D(a_p)\neq 0$. On écrit $P=(X-a_p)^{m_p}S$. Montrons que $(X-a_p)^{k}\mid Q$ pour $k=0,\dots,m_p$, par récurrence sur $k$. Si $Q=(X-a_p)^kQ_k$ avec $k<m_p$, alors $DQ_k(X-a_p)^k=(X-a_p)^{m_p}S$ et, par intégrité, $DQ_k=(X-a_p)^{m_p-k}S$. En évaluant en $a_p$ : $D(a_p)Q_k(a_p)=0$, donc $Q_k(a_p)=0$ et $(X-a_p)\mid Q_k$. Finalement $(X-a_p)^{m_p}\mid Q$, d'où le résultat.
S’entraîner
- Multiplicité d'une racine et factorisation
- Sommes symétriques des racines d'un polynôme de degré 3
- Reste de X^n par un diviseur ayant une racine double
- Divisibilité par (X−1)^2 et quotient explicite
- Factorisation de X^6+8 et de X^4+X^2+1