Prépa, 1re année › Polynômes › Racine et facteur X−a
Racine et facteur X−a : énoncé (MPSI)
Propriété
Racine et facteur X−a
Soient $P\in\mathbb{K}[X]$ et $a\in\mathbb{K}$. Le reste de la division de $P$ par $X-a$ est la constante $P(a)$. Par conséquent : $$P(a)=0\iff (X-a)\mid P .$$
Démonstration : Racine et facteur X−a
Démonstration
Racine et facteur X−a
La division euclidienne donne $P=(X-a)Q+R$ avec $\deg R<1$, donc $R$ est une constante $c$. En évaluant en $a$ : $P(a)=0\cdot Q(a)+c=c$. Ainsi $R=P(a)$, et $(X-a)\mid P$ si et seulement si $R=0$, c'est-à-dire $P(a)=0$.
S’entraîner
- Multiplicité d'une racine et factorisation
- Reste de X^n par un diviseur ayant une racine double
- Divisibilité par (X−1)^2 et quotient explicite
- Un système symétrique non linéaire
- Les racines de la somme partielle de l'exponentielle sont simples