Calculer une somme par télescopage : méthode (MPSI)

Pour calculer $\sum u_n$ par télescopage :

1. Chercher une suite $(a_n)$ telle que $u_n=a_{n+1}-a_n$ (ou $a_n-a_{n+1}$). Pour une fraction rationnelle, on décompose en éléments simples ; pour un logarithme, on transforme un quotient en différence.
2. Écrire la somme partielle finie $S_n$ et simplifier.
3. Passer à la limite dans $S_n$. La convergence et la valeur de la somme sont obtenues en même temps.