Déterminer les inversibles à l'aide d'une norme : méthode (MPSI)

1. Trouver une application $N:A\to B$ multiplicative ($N(xy)=N(x)N(y)$, $N(1)=1$) vers un anneau $B$ dont on connaît les inversibles (souvent $\mathbb Z$).
2. Si $x$ est inversible, $N(x)N(x^{-1})=N(1)=1$, donc $N(x)\in B^\times$ : c'est une condition nécessaire.
3. Étudier la réciproque, souvent en exhibant l'inverse.

Exemple : $\mathbb Z[\sqrt2]$. Comme $\sqrt2$ est irrationnel, l'écriture $x=a+b\sqrt2$ avec $a,b\in\mathbb Z$ est unique, et l'on peut poser $\bar x=a-b\sqrt2$ et $N(x)=x\bar x=a^2-2b^2\in\mathbb Z$. Un calcul direct montre $\overline{xy}=\bar x\,\bar y$, donc $N(xy)=N(x)N(y)$.

• Si $x$ est inversible, $N(x)\in\mathbb Z^\times$, donc $N(x)=\pm1$.
• Si $N(x)=\varepsilon\in\{-1,1\}$, alors $x\cdot(\varepsilon\bar x)=\varepsilon^2=1$, et $\varepsilon\bar x\in\mathbb Z[\sqrt2]$.

Ainsi $x\in\mathbb Z[\sqrt2]^\times\iff a^2-2b^2=\pm1$. Par exemple $N(1+\sqrt2)=1-2=-1$, et $(1+\sqrt2)(\sqrt2-1)=2-1=1$. Comme $1+\sqrt2>1$, ses puissances sont deux à deux distinctes : ce groupe d'inversibles est infini.