Prépa, 1re année › Structures algébriques usuelles › $A^\times$ est un groupe

$A^\times$ est un groupe : énoncé (MPSI)

Théorème

$A^\times$ est un groupe

Pour tout anneau $A$, $(A^\times,\times)$ est un groupe, appelé groupe des inversibles de $A$.

Démonstration : $A^\times$ est un groupe

Démonstration

$A^\times$ est un groupe

Loi interne : si $a,b\in A^\times$, alors $(ab)(b^{-1}a^{-1})=a(bb^{-1})a^{-1}=aa^{-1}=1$ et de même $(b^{-1}a^{-1})(ab)=1$. Donc $ab\in A^\times$.
Associativité : héritée de celle de $\times$ dans $A$.
Neutre : $1\cdot1=1$, donc $1\in A^\times$, et $1$ est neutre.
Inverses : si $a\in A^\times$, les égalités $aa^{-1}=a^{-1}a=1$ montrent que $a^{-1}\in A^\times$, d'inverse $a$.

Exemple

Groupes d'inversibles

$\mathbb Z^\times=\{-1,1\}$ : si $ab=1$ dans $\mathbb Z$, alors $|a|\,|b|=1$ avec $|a|,|b|$ entiers naturels non nuls, donc $|a|=1$.
$\mathbb Q^\times=\mathbb Q^*$, $\mathbb R^\times=\mathbb R^*$, $\mathbb C^\times=\mathbb C^*$.
$\mathcal F(X,\mathbb R)^\times$ est l'ensemble des fonctions qui ne s'annulent pas : si $fg=1$, $f(x)g(x)=1$ impose $f(x)\neq0$ ; réciproquement l'inverse est $x\mapsto1/f(x)$.
$\mathbb Z[i]^\times=\{1,-1,i,-i\}$. Ces quatre éléments sont inversibles ($i\times(-i)=1$). Réciproquement, si $zw=1$ avec $z,w\in\mathbb Z[i]$, alors $|z|^2|w|^2=1$. Or $|a+ib|^2=a^2+b^2$ est un entier naturel, non nul ici. Donc $a^2+b^2=1$, d'où $(a,b)\in\{(\pm1,0),(0,\pm1)\}$.

Remarque

Un inversible n'est pas diviseur de zéro

Si $a\in A^\times$ et $ab=0$, alors $b=a^{-1}(ab)=a^{-1}\cdot0=0$. La réciproque est fausse : dans $\mathbb Z$, $2$ n'est pas diviseur de zéro, mais n'est pas inversible.

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Structures algébriques usuelles : $A^\times$ est un groupe