On injecte un médicament à un patient. La concentration du médicament dans le sang, en milligrammes par litre (mg/L), $t$ heures après l'injection, est modélisée par la fonction $C$ définie sur $[0\,;10]$ par $$C(t)=4te^{-0{,}5t}.$$
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a. Montrer que pour tout $t\in[0\,;10]$, $C'(t)=2(2-t)e^{-0{,}5t}$. b. Dresser le tableau de variations de $C$ sur $[0\,;10]$. À quel instant la concentration est-elle maximale ? Donner cette concentration maximale, arrondie au centième.
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a. On admet que $C$ est deux fois dérivable sur $[0\,;10]$. Montrer que $C''(t)=(t-4)e^{-0{,}5t}$. b. Étudier la convexité de $C$ et déterminer les coordonnées du point d'inflexion de sa courbe (valeurs exactes, puis arrondies au centième).
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On admet que $C'(t)$ représente la vitesse d'évolution de la concentration à l'instant $t$. Déterminer l'instant où la concentration diminue le plus rapidement et la valeur de cette vitesse, arrondie au centième.
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Montrer que pour tout $t\in[0\,;4]$, $C(t)\leqslant 4t$.
La dérivée de $t\mapsto e^{-0{,}5t}$ est $t\mapsto-0{,}5e^{-0{,}5t}$.
Le signe de $C''$ donne les variations de $C'$ : on cherche le minimum de $C'$.
Pour la question 4, chercher la tangente à la courbe en $0$.
1.a. $C$ est dérivable sur $[0\,;10]$ comme produit de fonctions dérivables : $$C'(t)=4e^{-0{,}5t}+4t\times(-0{,}5)e^{-0{,}5t}=(4-2t)e^{-0{,}5t}=2(2-t)e^{-0{,}5t}.$$
1.b. $e^{-0{,}5t}>0$, donc $C'(t)$ a le signe de $2-t$ : positif sur $[0\,;2]$, négatif sur $[2\,;10]$. On calcule $C(0)=0$, $C(2)=8e^{-1}\approx 2{,}94$ et $C(10)=40e^{-5}\approx 0{,}27$.
| $t$ | $0$ | $2$ | $10$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $C'(t)$ | $+$ | $0$ | $-$ | ||
| $C$ | $0$ | croissante | $8e^{-1}$ | décroissante | $40e^{-5}$ |
La concentration est maximale 2 heures après l'injection ; elle vaut environ $2{,}94$ mg/L.
2.a. $C''(t)=-2e^{-0{,}5t}+(4-2t)(-0{,}5)e^{-0{,}5t}=(-2-2+t)e^{-0{,}5t}=(t-4)e^{-0{,}5t}$.
2.b. $C''(t)$ a le signe de $t-4$ : $C$ est concave sur $[0\,;4]$ et convexe sur $[4\,;10]$. $C''$ s'annule en changeant de signe en $4$, et $C(4)=16e^{-2}\approx 2{,}17$. Le point d'inflexion est $(4\,;16e^{-2})$, soit environ $(4\,;2{,}17)$.
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D'après 2.b, $C''\leqslant 0$ sur $[0\,;4]$ et $C''\geqslant 0$ sur $[4\,;10]$ : $C'$ est décroissante sur $[0\,;4]$ puis croissante sur $[4\,;10]$. Elle atteint donc son minimum en $t=4$ : $C'(4)=2(2-4)e^{-2}=-4e^{-2}\approx-0{,}54$. Ce nombre est négatif : c'est 4 heures après l'injection que la concentration diminue le plus vite, à environ $0{,}54$ mg/L par heure.
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$C(0)=0$ et $C'(0)=4$ : la tangente à la courbe en $0$ a pour équation $y=4t$. $C$ est concave sur $[0\,;4]$, donc sa courbe est en dessous de cette tangente sur cet intervalle : $C(t)\leqslant 4t$ pour tout $t\in[0\,;4]$.
Maximum $8e^{-1}\approx 2{,}94$ mg/L à $t=2$ ; point d'inflexion $(4;16e^{-2})\approx(4;2{,}17)$ ; décroissance la plus rapide à $t=4$, $C'(4)=-4e^{-2}\approx-0{,}54$