Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$. On définit sur $I$ la fonction $g=e^{f}$, c'est-à-dire $g(x)=e^{f(x)}$.
- Montrer que, pour tout $x\in I$, $g''(x)=\big(f''(x)+f'(x)^2\big)e^{f(x)}$.
- En déduire que si $f$ est convexe sur $I$, alors $g$ est convexe sur $I$.
- Application : étudier la convexité de $x\mapsto e^{x^2}$ sur $\mathbb{R}$.
- La fonction $x\mapsto -x^2$ est concave sur $\mathbb{R}$. La fonction $x\mapsto e^{-x^2}$ est-elle concave sur $\mathbb{R}$ ? Conclure sur la réciproque « si $f$ est concave, alors $e^f$ est concave ».
- Étudier la convexité de la fonction $k$ définie sur $]0\,;+\infty[$ par $k(x)=e^{\sqrt x}$ et déterminer le point d'inflexion de sa courbe.
$g'=f'e^{f}$ ; dériver ensuite ce produit, en dérivant à nouveau $e^f$ comme une composée.
Pour la question 2, étudier le signe de chaque facteur de $g''$.
Pour la question 5, utiliser $f(x)=\sqrt x$, $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt x}$, $f''(x)=-\frac{1}{4x\sqrt x}$ et réduire au même dénominateur.
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Par la dérivée d'une composée, $g'(x)=f'(x)e^{f(x)}$. C'est un produit de fonctions dérivables : $$g''(x)=f''(x)e^{f(x)}+f'(x)\times f'(x)e^{f(x)}=\big(f''(x)+f'(x)^2\big)e^{f(x)}.$$
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Si $f$ est convexe sur $I$, $f''(x)\geqslant 0$ pour tout $x\in I$. De plus $f'(x)^2\geqslant 0$ et $e^{f(x)}>0$. Donc $g''(x)\geqslant 0$ sur $I$ : $g$ est convexe sur $I$.
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Avec $f(x)=x^2$ : $f''(x)=2\geqslant 0$, $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$, donc $x\mapsto e^{x^2}$ est convexe sur $\mathbb{R}$. Directement : $g''(x)=(2+4x^2)e^{x^2}>0$.
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Avec $f(x)=-x^2$ : $f'(x)=-2x$, $f''(x)=-2$, donc $g''(x)=(4x^2-2)e^{-x^2}$. En $x=1$ : $g''(1)=2e^{-1}>0$. Plus précisément, $g''(x)>0$ dès que $x^2>\frac12$ : $g$ est convexe sur $\left[\frac{\sqrt2}{2}\,;+\infty\right[$, donc elle n'est pas concave sur $\mathbb{R}$. La réciproque proposée est fausse.
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Avec $f(x)=\sqrt x$, deux fois dérivable sur $]0\,;+\infty[$ : $$f''(x)+f'(x)^2=-\frac{1}{4x\sqrt x}+\frac{1}{4x}=\frac{-1+\sqrt x}{4x\sqrt x}.$$ Donc $k''(x)=\frac{\sqrt x-1}{4x\sqrt x}e^{\sqrt x}$. Comme $4x\sqrt x>0$ et $e^{\sqrt x}>0$, $k''(x)$ a le signe de $\sqrt x-1$, négatif sur $]0\,;1[$ et positif sur $]1\,;+\infty[$.
$k$ est concave sur $]0\,;1]$ et convexe sur $[1\,;+\infty[$. $k''$ s'annule en changeant de signe en $1$ et $k(1)=e$ : le point d'inflexion est $(1\,;e)$.
$g''=(f''+f'^2)e^{f}$ ; $e^{x^2}$ convexe sur $\mathbb{R}$ ; $e^{-x^2}$ non concave sur $\mathbb{R}$ ; $e^{\sqrt{x}}$ concave sur $]0;1]$, convexe sur $[1;+\infty[$, inflexion en $(1;e)$