Exercice corrigé : Le milieu d'une corde

Soit $f$ une fonction convexe sur un intervalle $I$, et $a<b$ deux réels de $I$. On note $A(a\,;f(a))$, $B(b\,;f(b))$ et $m=\frac{a+b}{2}$.

1. Déterminer une équation de la droite $(AB)$.
2. Calculer l'ordonnée du point de $(AB)$ d'abscisse $m$.
3. En déduire que $f\left(\frac{a+b}{2}\right)\leqslant\frac{f(a)+f(b)}{2}$. Quelle inégalité obtient-on si $f$ est concave ?
4. Applications. a. Montrer que pour tous réels $a$ et $b$, $\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\leqslant\frac{a^2+b^2}{2}$, puis le vérifier par un calcul direct. b. Montrer que pour tous réels $a\geqslant 0$ et $b\geqslant 0$, $\frac{\sqrt a+\sqrt b}{2}\leqslant\sqrt{\frac{a+b}{2}}$. Tester avec $a=1$ et $b=9$. c. Montrer que $e\leqslant\frac{1+e^2}{2}$.