Exercice corrigé : Vrai ou faux sur la convexité

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x^2-1)^3$ a pour dérivée $f'(x)=3(x^2-1)^2$.
2. La courbe de la fonction $x\mapsto x^5$ admet un point d'inflexion à l'origine du repère.
3. Si $g$ est une fonction deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $g''(x)=(x-2)^2$ pour tout réel $x$, alors la courbe de $g$ admet un point d'inflexion d'abscisse $2$.
4. Pour tout $x\in[0\,;2]$, $e^x\leqslant 1+\frac{e^2-1}{2}x$.
5. La fonction $x\mapsto e^{-x}$ est concave sur $\mathbb{R}$.