On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(2x+1)e^{-x}$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
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a. Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$. b. On rappelle que $\lim\limits_{x\to+\infty}xe^{-x}=0$. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ et interpréter graphiquement le résultat.
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a. Montrer que pour tout réel $x$, $f'(x)=(1-2x)e^{-x}$. b. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
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a. On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. Montrer que pour tout réel $x$, $f''(x)=(2x-3)e^{-x}$. b. Étudier la convexité de $f$ et donner les coordonnées exactes du point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$.
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a. Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$. b. Montrer que pour tout $x\in\left]-\infty\,;\frac32\right]$, $f(x)\leqslant x+1$. c. Montrer que cette inégalité est vraie pour tout réel $x$. d. En déduire que pour tout réel $x$, $2x+1\leqslant(x+1)e^x$.
En $+\infty$, développer $f(x)=2xe^{-x}+e^{-x}$.
La dérivée de $x\mapsto e^{-x}$ est $x\mapsto-e^{-x}$ ; factoriser par $e^{-x}$.
Pour 4.b, utiliser la concavité. Pour 4.c, comparer, lorsque $x\geqslant\frac32$, le maximum de $f$ et la valeur de $x+1$.
Pour 4.d, multiplier par un nombre strictement positif.
1.a. $\lim\limits_{x\to-\infty}(2x+1)=-\infty$ et, comme $-x\to+\infty$, $\lim\limits_{x\to-\infty}e^{-x}=+\infty$. Par produit, $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$.
1.b. $f(x)=2xe^{-x}+e^{-x}$. On a $\lim\limits_{x\to+\infty}xe^{-x}=0$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}e^{-x}=0$, donc $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$. La droite d'équation $y=0$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$.
2.a. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables : $$f'(x)=2e^{-x}+(2x+1)(-e^{-x})=(2-2x-1)e^{-x}=(1-2x)e^{-x}.$$
2.b. $e^{-x}>0$, donc $f'(x)$ a le signe de $1-2x$, positif pour $x<\frac12$, négatif pour $x>\frac12$. $f\left(\frac12\right)=2e^{-\frac12}$.
| $x$ | $-\infty$ | $\frac12$ | $+\infty$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | ||
| $f$ | $-\infty$ | croissante | $2e^{-\frac12}$ | décroissante | $0$ |
3.a. $f''(x)=-2e^{-x}+(1-2x)(-e^{-x})=(-2-1+2x)e^{-x}=(2x-3)e^{-x}$.
3.b. $f''(x)$ a le signe de $2x-3$ : négatif pour $x<\frac32$, positif pour $x>\frac32$. $f$ est concave sur $\left]-\infty\,;\frac32\right]$ et convexe sur $\left[\frac32\,;+\infty\right[$. $f''$ s'annule en changeant de signe en $\frac32$ et $f\left(\frac32\right)=4e^{-\frac32}$. Le point d'inflexion est $\left(\frac32\,;4e^{-\frac32}\right)$.
4.a. $f(0)=1$ et $f'(0)=1$ : $T$ a pour équation $y=x+1$.
4.b. $f$ est concave sur $\left]-\infty\,;\frac32\right]$, intervalle qui contient $0$ : sur cet intervalle, $\mathcal{C}_f$ est en dessous de sa tangente en $0$. Donc $f(x)\leqslant x+1$ pour tout $x\leqslant\frac32$.
4.c. Pour $x\geqslant\frac32$ : d'après le tableau, $f(x)\leqslant 2e^{-\frac12}$. Comme $-\frac12<0$, $e^{-\frac12}<1$, donc $f(x)<2$. Et $x+1\geqslant\frac52>2$. Ainsi $f(x)<x+1$. Avec 4.b, l'inégalité $f(x)\leqslant x+1$ est vraie pour tout réel $x$.
4.d. Pour tout réel $x$, $(2x+1)e^{-x}\leqslant x+1$. En multipliant par $e^x>0$, et comme $e^{-x}e^x=1$ : $2x+1\leqslant(x+1)e^x$.
Limites $-\infty$ et $0$ ; maximum $2e^{-1/2}$ en $\frac12$ ; concave sur $]-\infty;\frac32]$, convexe sur $[\frac32;+\infty[$ ; inflexion $(\frac32;4e^{-3/2})$ ; $T : y=x+1$