Exercice corrigé : Encadrer 1/x par une tangente et une corde

On considère la fonction $f$ définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x)=\frac1x$.

1. Montrer que $f$ est convexe sur $]0\,;+\infty[$.
2. On note $A$ et $B$ les points de la courbe d'abscisses $1$ et $2$. Déterminer une équation de la droite $(AB)$ et en déduire que, pour tout $x\in[1\,;2]$, $\frac1x\leqslant\frac{3-x}{2}$.
3. Déterminer la tangente à la courbe au point d'abscisse $1$ et en déduire que, pour tout $x>0$, $\frac1x\geqslant 2-x$.
4. Écrire un encadrement de $\frac1x$ valable sur $[1\,;2]$ et le tester pour $x=\frac43$.
5. Retrouver l'inégalité de la question 2 par un calcul algébrique.