On considère la fonction $f$ définie sur $[-1\,;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{1+x}$.
- Justifier que $f$ est dérivable sur $]-1\,;+\infty[$ et calculer $f'(x)$.
- Montrer que, pour tout $x>-1$, $f''(x)=-\frac{1}{4(1+x)\sqrt{1+x}}$. En déduire la convexité de $f$ sur $]-1\,;+\infty[$.
- Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$.
- En déduire que, pour tout $x\geqslant -1$, $\sqrt{1+x}\leqslant 1+\frac{x}{2}$.
- Application : donner un majorant de $\sqrt{1{,}02}$ sans calculatrice.
Écrire $f'(x)=\frac{1}{w(x)}$ avec $w(x)=2\sqrt{1+x}$ et utiliser $\left(\frac1w\right)'=-\frac{w'}{w^2}$.
Une fonction concave a une courbe en dessous de ses tangentes.
Le cas $x=-1$ se traite à part.
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$f=\sqrt{u}$ avec $u(x)=1+x$, et $u(x)>0$ pour $x>-1$. Donc $f$ est dérivable sur $]-1\,;+\infty[$ et, avec $u'(x)=1$ : $$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}.$$
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$f'(x)=\frac{1}{w(x)}$ avec $w(x)=2\sqrt{1+x}$, dérivable et strictement positive sur $]-1\,;+\infty[$, $w'(x)=2\times\frac{1}{2\sqrt{1+x}}=\frac{1}{\sqrt{1+x}}$. Donc : $$f''(x)=-\frac{w'(x)}{w(x)^2}=-\frac{\frac{1}{\sqrt{1+x}}}{4(1+x)}=-\frac{1}{4(1+x)\sqrt{1+x}}.$$ Pour $x>-1$, $1+x>0$ et $\sqrt{1+x}>0$, donc $f''(x)<0$ : $f$ est concave sur $]-1\,;+\infty[$.
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$f(0)=1$ et $f'(0)=\frac12$. La tangente a pour équation $y=\frac12x+1$.
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$f$ étant concave sur $]-1\,;+\infty[$, sa courbe est en dessous de sa tangente en $0$ : pour tout $x>-1$, $\sqrt{1+x}\leqslant 1+\frac x2$.
Pour $x=-1$ : $\sqrt{0}=0$ et $1-\frac12=\frac12$, et $0\leqslant\frac12$. L'inégalité est donc vraie pour tout $x\geqslant -1$.
- Avec $x=0{,}02$ : $\sqrt{1{,}02}\leqslant 1+0{,}01=1{,}01$. La calculatrice donne $\sqrt{1{,}02}\approx 1{,}00995$ : la tangente fournit une très bonne approximation près de $0$.
$f''(x)=-\frac{1}{4(1+x)\sqrt{1+x}}<0$, $f$ concave ; tangente $y=1+\frac{x}{2}$ ; $\sqrt{1{,}02}\leqslant 1{,}01$