Minorer une sommeDémontrer une propriété par récurrenceMontrer qu'une suite n'est pas majoréeUtiliser le théorème sur les suites croissantes non majorées
Pour $n\ge1$, on pose $H_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac1k=1+\frac12+\cdots+\frac1n$.
- Montrer que la suite $(H_n)$ est croissante.
- Soit $p\in\mathbb{N}$. Combien la somme $\displaystyle\sum_{k=2^p+1}^{2^{p+1}}\frac1k$ comporte-t-elle de termes ? Montrer qu'elle est supérieure ou égale à $\dfrac12$.
- Démontrer par récurrence que, pour tout $p\in\mathbb{N}$, $H_{2^p}\ge1+\dfrac p2$.
- En déduire que $(H_n)$ n'est pas majorée, puis déterminer sa limite.
- Déterminer un entier $N$ tel que, pour tout $n\ge N$, $H_n\ge10$.
Indice 1
Chaque terme de la somme de la question 2 est supérieur ou égal au plus petit d'entre eux, $\dfrac1{2^{p+1}}$.
Indice 2
Dans l'hérédité, écrire $H_{2^{p+1}}=H_{2^p}+\displaystyle\sum_{k=2^p+1}^{2^{p+1}}\frac1k$.
Indice 3
Pour montrer que $(H_n)$ n'est pas majorée, raisonner par l'absurde avec un majorant $M$ et choisir $p$ assez grand.
🔒 Corrigé Premium
Crée un compte gratuit : 5 corrigés Premium offerts chaque semaine
Créer mon compte gratuit