On considère la fonction $f$ définie sur $[0\,;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{4x}{x+1}$.
Partie A
- Calculer $f'(x)$ et en déduire le sens de variation de $f$ sur $[0\,;+\infty[$.
- Calculer $f(3)$ et résoudre dans $[0\,;+\infty[$ l'équation $f(x)=x$.
Partie B
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=\dfrac12$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
- Calculer $u_1$ et $u_2$.
- Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\dfrac12\le u_n\le u_{n+1}\le3$.
- En déduire que $(u_n)$ converge, puis déterminer sa limite.
Partie C
On pose, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_n=\dfrac{u_n-3}{u_n}$.
- Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac14$ ; préciser $v_0$.
- En déduire que, pour tout $n$, $u_n=\dfrac3{1+5\times\left(\frac14\right)^n}$, et retrouver la limite de $(u_n)$.
- Montrer que $3-u_n=\dfrac{15}{4^n+5}$.
- On considère la fonction Python ci-dessous, qui doit renvoyer le plus petit entier $n$ tel que $3-u_n<10^{-3}$. Recopier et compléter les lignes 4 et 5, puis déterminer la valeur renvoyée.
def seuil():
n = 0
u = 0.5
while ..........:
u = ..........
n = n + 1
return n
$f$ est un quotient : $f'(x)=\dfrac{4(x+1)-4x}{(x+1)^2}$.
Dans l'hérédité de la partie B, utiliser la croissance de $f$ sur $\left[\frac12\,;3\right]$ et calculer $f\left(\frac12\right)$.
Pour la partie C, écrire $v_{n+1}=1-\dfrac3{u_{n+1}}$ et remplacer $u_{n+1}$ par $\dfrac{4u_n}{u_n+1}$.
Pour le seuil, se ramener à $4^n>14\,995$.
Partie A
1. $f$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$ comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas. Pour $x\ge0$ :
$$f'(x)=\frac{4(x+1)-4x\times1}{(x+1)^2}=\frac4{(x+1)^2}>0.$$
$f$ est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$.
2. $f(3)=\dfrac{12}4=3$. Pour $x\ge0$ :
$$f(x)=x\iff4x=x(x+1)\iff x^2-3x=0\iff x(x-3)=0.$$
Les solutions sont $0$ et $3$.
Partie B
1. $u_1=f\left(\frac12\right)=\dfrac2{\frac32}=\dfrac43$ et $u_2=f\left(\frac43\right)=\dfrac{\frac{16}3}{\frac73}=\dfrac{16}7$.
2. Notons $P(n)$ : « $\dfrac12\le u_n\le u_{n+1}\le3$ ».
Initialisation. $u_0=\dfrac12$ et $u_1=\dfrac43$ : on a bien $\dfrac12\le\dfrac12\le\dfrac43\le3$. $P(0)$ est vraie.
Hérédité. Soit $n$ tel que $\dfrac12\le u_n\le u_{n+1}\le3$. Comme $f$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$ :
$$f\left(\tfrac12\right)\le f(u_n)\le f(u_{n+1})\le f(3),\ \text{soit}\ \frac43\le u_{n+1}\le u_{n+2}\le3.$$
Comme $\dfrac43\ge\dfrac12$, $P(n+1)$ est vraie.
Conclusion. Pour tout $n$, $\dfrac12\le u_n\le u_{n+1}\le3$.
3. $(u_n)$ est croissante et majorée par $3$ : d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers un réel $\ell$, et par passage à la limite $\dfrac12\le\ell\le3$.
$f$ est continue sur $[0\,;+\infty[$ (fonction rationnelle définie sur cet intervalle), donc $f(\ell)=\ell$. D'après la partie A, $\ell=0$ ou $\ell=3$. Comme $\ell\ge\dfrac12$, $\ell=3$.
Partie C
1. D'après la partie B, $u_n\ge\dfrac12>0$, donc $v_n$ est bien défini et $v_n=1-\dfrac3{u_n}$. Pour tout $n$ :
$$v_{n+1}=1-\frac3{u_{n+1}}=1-\frac{3(u_n+1)}{4u_n}=\frac{4u_n-3u_n-3}{4u_n}=\frac{u_n-3}{4u_n}=\frac14\,v_n.$$
$(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac14$ et de premier terme $v_0=\dfrac{\frac12-3}{\frac12}=-5$.
2. Donc $v_n=-5\times\left(\frac14\right)^n$. De $v_n=1-\dfrac3{u_n}$, on tire $\dfrac3{u_n}=1-v_n=1+5\times\left(\frac14\right)^n>0$, d'où
$$u_n=\frac3{1+5\times\left(\frac14\right)^n}.$$
Comme $-1<\dfrac14<1$, $\lim\left(\frac14\right)^n=0$, donc le dénominateur tend vers $1$ et $\lim u_n=3$, ce qui confirme la partie B.
3. En multipliant numérateur et dénominateur par $4^n$ : $u_n=\dfrac{3\times4^n}{4^n+5}$. Donc
$$3-u_n=\frac{3(4^n+5)-3\times4^n}{4^n+5}=\frac{15}{4^n+5}.$$
4. La boucle doit tourner tant que la condition d'arrêt n'est pas atteinte, et calculer le terme suivant :
def seuil():
n = 0
u = 0.5
while 3 - u >= 0.001:
u = 4 * u / (u + 1)
n = n + 1
return n
Valeur renvoyée : $3-u_n<10^{-3}\iff\dfrac{15}{4^n+5}<0{,}001\iff4^n+5>15\,000\iff4^n>14\,995$.
Or $4^6=4\,096$ et $4^7=16\,384$. La suite $(4^n)$ étant croissante, le plus petit entier qui convient est $n=7$. La fonction renvoie $7$.
$\lim u_n=3$ ; $u_n=\dfrac3{1+5\times(1/4)^n}$ ; la fonction renvoie $7$