Une association compte 800 adhérents au 1er janvier 2025. On estime que, chaque année, 15 % des adhérents ne renouvellent pas leur adhésion et que 150 nouvelles personnes adhèrent.
On note $u_n$ le nombre d'adhérents au 1er janvier de l'année $2025+n$. On a ainsi $u_0=800$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=0{,}85\,u_n+150$.
- Calculer $u_1$.
- On pose, pour tout $n$, $v_n=u_n-1000$. a) Démontrer que $(v_n)$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. b) En déduire que, pour tout $n$, $u_n=1000-200\times0{,}85^n$.
- Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
- Déterminer la limite de $(u_n)$ et l'interpréter.
- L'association se fixe l'objectif de dépasser 990 adhérents. En quelle année l'atteindra-t-elle selon ce modèle ?
- On note $S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n$. a) Démontrer que $S_n=1000(n+1)-\dfrac{4000}3\left(1-0{,}85^{n+1}\right)$. b) Déterminer $\lim_{n\to+\infty}\dfrac{S_n}{n+1}$ et interpréter ce résultat.
Pour 2a, exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $u_n$ et factoriser par $0{,}85$.
Pour le seuil, se ramener à une inéquation $0{,}85^n<c$ et utiliser la calculatrice.
Pour 6a, séparer la somme des $1000$ et la somme des termes $200\times0{,}85^k$.
Pour 6b, remarquer que $1-0{,}85^{n+1}$ reste compris entre $0$ et $1$.
1. $u_1=0{,}85\times800+150=680+150=830$.
2.a) Pour tout $n$ :
$$v_{n+1}=u_{n+1}-1000=0{,}85\,u_n-850=0{,}85\,(u_n-1000)=0{,}85\,v_n.$$
$(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}85$ et de premier terme $v_0=800-1000=-200$.
2.b) Donc $v_n=-200\times0{,}85^n$ et $u_n=v_n+1000=1000-200\times0{,}85^n$. (Vérification : $u_1=1000-170=830$.)
3. Pour tout $n$ :
$$u_{n+1}-u_n=-200\times0{,}85^{n+1}+200\times0{,}85^n=200\times0{,}85^n\times(1-0{,}85)=30\times0{,}85^n>0.$$
La suite $(u_n)$ est croissante.
4. Comme $-1<0{,}85<1$, $\lim0{,}85^n=0$, donc $\lim u_n=1000$. Selon ce modèle, le nombre d'adhérents augmente et se rapproche de $1000$ à long terme, sans jamais l'atteindre (car $200\times0{,}85^n>0$).
5.
$$u_n>990\iff200\times0{,}85^n<10\iff0{,}85^n<0{,}05.$$
À la calculatrice, $0{,}85^{18}\approx0{,}0536$ et $0{,}85^{19}\approx0{,}0456$. La suite $(0{,}85^n)$ est décroissante, donc le plus petit entier qui convient est $n=19$ (on a $u_{18}\approx989{,}3$ et $u_{19}\approx990{,}9$). L'objectif est atteint en $2025+19=2044$.
6.a)
$$S_n=\sum_{k=0}^{n}\left(1000-200\times0{,}85^k\right)=1000(n+1)-200\sum_{k=0}^{n}0{,}85^k.$$
Or $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}0{,}85^k=\frac{1-0{,}85^{n+1}}{1-0{,}85}=\frac{1-0{,}85^{n+1}}{0{,}15}$ et $\dfrac{200}{0{,}15}=\dfrac{4000}3$. Donc
$$S_n=1000(n+1)-\frac{4000}3\left(1-0{,}85^{n+1}\right).$$
(Vérification : $S_0=1000-\frac{4000}3\times0{,}15=1000-200=800=u_0$.)
6.b)
$$\frac{S_n}{n+1}=1000-\frac{4000}3\times\frac{1-0{,}85^{n+1}}{n+1}.$$
On a $\lim\left(1-0{,}85^{n+1}\right)=1$ et $\lim(n+1)=+\infty$, donc par quotient $\lim\dfrac{1-0{,}85^{n+1}}{n+1}=0$. Ainsi $\lim\dfrac{S_n}{n+1}=1000$.
Interprétation : $\dfrac{S_n}{n+1}$ est le nombre moyen d'adhérents sur les $n+1$ premières années ; sur une longue période, cette moyenne se rapproche de $1000$.
$u_n=1000-200\times0{,}85^n$ ; $\lim u_n=1000$ ; année 2044 ; $\lim\dfrac{S_n}{n+1}=1000$