Exercice corrigé : Séries de tir à l'arc (type bac)

Un archer atteint la cible à chaque flèche avec la probabilité $0{,}7$, indépendamment des autres flèches. Une série comporte 10 flèches. On note $X$ le nombre de flèches qui atteignent la cible au cours d'une série.

Partie A

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Calculer la probabilité que les 10 flèches atteignent la cible (arrondi à $10^{-4}$).
3. Calculer $P(X=8)$ (arrondi à $10^{-4}$).
4. Une série est dite qualifiante si au moins 8 flèches atteignent la cible. Montrer que la probabilité $q$ qu'une série soit qualifiante vaut environ $0{,}3828$.
5. Calculer $E(X)$ et $\sigma(X)$ (arrondi au centième).

Partie B

Lors d'une compétition, l'archer tire 3 séries, indépendantes les unes des autres. Il est sélectionné pour la finale s'il réalise au moins une série qualifiante. On note $Y$ le nombre de séries qualifiantes.

1. Quelle est la loi de $Y$ ?
2. Calculer la probabilité que l'archer soit sélectionné (arrondi à $10^{-4}$, en prenant $q\approx0{,}3828$).

Partie C

Après entraînement, l'archer atteint la cible avec une probabilité $p\in\,]0\,;1[$. On souhaite que la probabilité de réussir une série parfaite (10 flèches sur 10) soit au moins $0{,}5$.

1. Montrer que cette condition équivaut à $\ln p\geqslant\dfrac{\ln(0{,}5)}{10}$, puis donner la valeur minimale de $p$ arrondie à $10^{-3}$.
2. On considère la fonction Python suivante :

def seuil_p():
    p = 0.5
    while p**10 < 0.5:
        p = p + 0.01
    return p

Que renvoie cette fonction (à l'arrondi machine près) ? Justifier par un calcul.