On lance $n$ fois un dé équilibré à six faces ($n\geq1$), les lancers étant indépendants. On note $N$ le nombre de faces distinctes obtenues. Par exemple, pour $n=4$ et les résultats $2,5,2,6$, on a $N=3$.
Pour $k\in\{1,\dots,6\}$, on note $I_k$ la variable qui vaut $1$ si la face $k$ apparaît au moins une fois au cours des $n$ lancers, et $0$ sinon.
- Exprimer $N$ à l'aide des $I_k$.
- Calculer $P(I_k=0)$, puis $E(I_k)$.
- En déduire que $E(N)=6\left(1-\left(\frac56\right)^n\right)$. Donner une valeur approchée au centième de $E(N)$ pour $n=6$.
- Dans le cas $n=1$, montrer que $I_1$ et $I_2$ ne sont pas indépendantes. Pourquoi le calcul de la question 3 reste-t-il valable ?
- Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $E(N)\geq5$.
- Déterminer $\lim\limits_{n\to+\infty}E(N)$ et interpréter.
Chaque face apparue contribue pour $1$ au nombre de faces distinctes.
La face $k$ n'apparaît jamais si chacun des $n$ lancers donne une autre face.
Pour la question 5, se ramener à $\left(\frac56\right)^n\leq\frac16$ et utiliser la fonction $\ln$.
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Chaque face apparue au moins une fois compte pour $1$ : $N=I_1+I_2+\dots+I_6$.
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$I_k=0$ signifie qu'aucun des $n$ lancers ne donne $k$. Chaque lancer donne une face différente de $k$ avec la probabilité $\frac56$ et les lancers sont indépendants, donc $P(I_k=0)=\left(\frac56\right)^n$. $I_k$ suit une loi de Bernoulli et $E(I_k)=P(I_k=1)=1-\left(\frac56\right)^n$.
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Par linéarité de l'espérance : $$E(N)=E(I_1)+\dots+E(I_6)=6\left(1-\left(\frac56\right)^n\right).$$ Pour $n=6$ : $\left(\frac56\right)^6=\frac{15625}{46656}$, donc $E(N)=6\times\frac{31031}{46656}=\frac{31031}{7776}\approx3{,}99$.
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Pour $n=1$, une seule face apparaît, donc $I_1$ et $I_2$ ne peuvent valoir $1$ simultanément : $P(I_1=1,I_2=1)=0$. Or $P(I_1=1)\times P(I_2=1)=\frac16\times\frac16=\frac1{36}\neq0$. Les variables ne sont pas indépendantes.
Le calcul reste valable car la linéarité de l'espérance ne demande aucune hypothèse d'indépendance. En revanche, on ne pourrait pas calculer $V(N)$ en additionnant les $V(I_k)$.
- $E(N)\geq5\iff1-\left(\frac56\right)^n\geq\frac56\iff\left(\frac56\right)^n\leq\frac16$. La fonction $\ln$ est strictement croissante, donc cela équivaut à $n\ln\frac56\leq\ln\frac16$. Comme $\ln\frac56<0$, on obtient $n\geq\dfrac{\ln(1/6)}{\ln(5/6)}=\dfrac{\ln6}{\ln6-\ln5}\approx9{,}83$.
Le plus petit entier est $n=10$. Contrôle : $\left(\frac56\right)^9\approx0{,}194>\frac16$ et $\left(\frac56\right)^{10}\approx0{,}162\leq\frac16\approx0{,}167$.
- Comme $0<\frac56<1$, $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\frac56\right)^n=0$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty}E(N)=6$ : avec un grand nombre de lancers, on obtient en moyenne presque toutes les faces.
$E(N)=6\left(1-\left(\frac56\right)^n\right)$ ; $E(N)\approx3{,}99$ pour $n=6$ ; $n=10$ ; limite $6$