Une joueuse de basket s'intéresse aux points qu'elle marque sur lancers francs et sur tirs à trois points. On admet que les résultats de tous ses tirs sont indépendants. Les probabilités sont arrondies à $10^{-3}$.
Partie A. Lors d'un match, elle tente $10$ lancers francs ; chacun est réussi avec la probabilité $0{,}8$ et rapporte $1$ point. On note $F$ le nombre de lancers francs réussis.
- Justifier que $F$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
- Calculer $P(F=9)$, puis $P(F\geq9)$.
- Calculer $E(F)$ et $V(F)$.
Partie B. Lors du même match, elle tente aussi $12$ tirs à trois points ; chacun est réussi avec la probabilité $0{,}35$ et rapporte $3$ points. On note $D$ le nombre de tirs à trois points réussis, et $T=F+3D$ le nombre de points marqués sur ces deux types de tirs.
- Donner la loi de $D$, son espérance et sa variance.
- Calculer $E(T)$.
- Justifier que $V(T)=26{,}17$. Donner $\sigma(T)$ arrondi au centième.
- À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que $P(11\leq T\leq30)\geq0{,}738$.
Partie C. On considère une saison de $n$ matchs. Les nombres de points $T_1,\dots,T_n$ marqués lors de ces matchs forment un échantillon de la loi de $T$. On note $M_n=\dfrac{T_1+\dots+T_n}{n}$.
- Donner $E(M_n)$ et $V(M_n)$.
- Déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel l'inégalité de concentration garantit $P(|M_n-20{,}6|\geq2)\leq0{,}1$.
- Pour une saison de $100$ matchs, minorer la probabilité que la moyenne de points par match soit strictement comprise entre $18{,}6$ et $22{,}6$.
Partie A : $P(F\geq9)=P(F=9)+P(F=10)$.
Partie B, question 3 : $F$ et $D$ portent sur des tirs différents, donc sont indépendantes ; ne pas oublier que $V(3D)=9V(D)$.
Partie B, question 4 : $T$ est entière, donc $11\leq T\leq30$ équivaut à $10{,}6<T<30{,}6$.
Partie C : appliquer $n\geq\frac{V}{\alpha\delta^2}$ et arrondir à l'entier supérieur.
Partie A.
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On répète $10$ fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli (lancer franc) de probabilité de succès $0{,}8$ ; $F$ compte les succès. Donc $F\sim\mathcal{B}(10\,;0{,}8)$.
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$P(F=9)=\binom{10}{9}0{,}8^9\times0{,}2=10\times0{,}8^9\times0{,}2=2\times0{,}8^9\approx0{,}268$.
$P(F=10)=0{,}8^{10}\approx0{,}107$, donc $P(F\geq9)=P(F=9)+P(F=10)\approx0{,}268435+0{,}107374\approx0{,}376$.
- $E(F)=10\times0{,}8=8$ et $V(F)=10\times0{,}8\times0{,}2=1{,}6$.
Partie B.
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Pour les mêmes raisons, $D\sim\mathcal{B}(12\,;0{,}35)$ : $E(D)=12\times0{,}35=4{,}2$ et $V(D)=12\times0{,}35\times0{,}65=2{,}73$.
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Par linéarité : $E(T)=E(F)+3E(D)=8+3\times4{,}2=8+12{,}6=20{,}6$.
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$F$ ne dépend que des lancers francs et $D$ que des tirs à trois points ; les tirs étant indépendants, $F$ et $D$ sont indépendantes. Donc $$V(T)=V(F)+3^2V(D)=1{,}6+9\times2{,}73=1{,}6+24{,}57=26{,}17,$$ et $\sigma(T)=\sqrt{26{,}17}\approx5{,}12$.
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D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $\delta=10$ : $$P(|T-20{,}6|\geq10)\leq\frac{26{,}17}{100}=0{,}2617.$$ Par passage au contraire, $P(|T-20{,}6|<10)\geq1-0{,}2617=0{,}7383$, c'est-à-dire $P(10{,}6<T<30{,}6)\geq0{,}7383$. Comme $T$ est à valeurs entières, $10{,}6<T<30{,}6$ équivaut à $11\leq T\leq30$. Donc $P(11\leq T\leq30)\geq0{,}738$.
Partie C.
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$M_n$ est la moyenne d'un échantillon de la loi de $T$ : $E(M_n)=20{,}6$ et $V(M_n)=\dfrac{26{,}17}{n}$.
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D'après l'inégalité de concentration, $P(|M_n-20{,}6|\geq2)\leq\dfrac{26{,}17}{4n}$. Il suffit que $\dfrac{26{,}17}{4n}\leq0{,}1$, soit $n\geq\dfrac{26{,}17}{0{,}4}=65{,}425$. Le plus petit entier convenable est $n=66$.
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Pour $n=100$ : $P(|M_{100}-20{,}6|\geq2)\leq\dfrac{26{,}17}{400}=0{,}065425$. Donc $P(18{,}6<M_{100}<22{,}6)=P(|M_{100}-20{,}6|<2)\geq1-0{,}065425\approx0{,}935$ (plus précisément $0{,}934575$, on arrondit par défaut pour conserver une minoration : $0{,}934$).
$P(F=9)\approx0{,}268$ ; $P(F\geq9)\approx0{,}376$ ; $E(T)=20{,}6$, $V(T)=26{,}17$ ; $n=66$ ; probabilité $\geq0{,}934$