Exercice corrigé : Sujet type bac : voyageurs d'une ligne de bus

À chaque arrêt d'une ligne de bus rurale, le nombre $X$ de voyageurs qui montent suit la loi suivante.

On admet que les nombres de voyageurs montant aux différents arrêts sont indépendants et suivent tous la loi de $X$.

Partie A.

1. Calculer $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma(X)$.
2. On considère deux arrêts consécutifs ; $X_1$ et $X_2$ sont les nombres de voyageurs qui y montent. Calculer $P(X_1+X_2=3)$.

Partie B. Dans une journée, le bus dessert $40$ arrêts. On note $S$ le nombre total de voyageurs montés dans la journée.

1. Calculer $E(S)$, $V(S)$ et $\sigma(S)$ (arrondi au centième).
2. Le chauffeur dispose d'un carnet de $89$ tickets. Justifier que $\{S\geq90\}\subset\{|S-68|\geq22\}$, puis montrer que la probabilité que le carnet suffise est supérieure à $0{,}93$.
3. Chaque voyageur paie $1{,}50$ euro. On note $R$ la recette de la journée. Calculer $E(R)$ et $\sigma(R)$ (arrondi au centième).
4. Un employé modélise la recette par $R'=1{,}5\times40\,X_1$, en supposant que tous les arrêts accueillent le même nombre de voyageurs que le premier. Calculer $V(R')$ et expliquer pourquoi ce modèle surestime la dispersion.

Partie C. Pour mieux connaître la fréquentation, on observe $n$ arrêts et on calcule le nombre moyen $M_n$ de voyageurs montés par arrêt. Déterminer une valeur de $n$ telle que l'inégalité de concentration garantisse $P(|M_n-1{,}7|\geq0{,}1)\leq0{,}05$.