Exercice corrigé : Endomorphismes de carré nul

Soit $E$ un espace de dimension $n \geq 1$ et $u \in \mathcal{L}(E)$ tel que $u \circ u = 0$.

1. Montrer que $\operatorname{Im} u \subset \operatorname{Ker} u$.
2. En déduire que $\operatorname{rg} u \leq \dfrac{n}{2}$.
3. On suppose $n = 2r$ et $\operatorname{rg} u = r$. Montrer que $\operatorname{Im} u = \operatorname{Ker} u$.
4. Donner un endomorphisme $u$ de $\mathbb{R}^4$ vérifiant $u \circ u = 0$ et $\operatorname{rg} u = 2$.
5. Existe-t-il $u \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3)$ tel que $u \circ u = 0$ et $\operatorname{rg} u = 2$ ?