Pour $n\in\mathbb N^*$, on considère la fonction $f_n(x)=x^n+x-1$ sur $[0,1]$.
- Montrer que l'équation $f_n(x)=0$ admet une unique solution $x_n$ dans $[0,1]$, et que $x_n\in]0,1[$. Calculer $x_1$ et $x_2$.
- Calculer $f_{n+1}(x_n)$ et en déduire que la suite $(x_n)_{n\ge1}$ est strictement croissante.
- Montrer que $(x_n)$ converge vers un réel $\ell\in\left[\frac12,1\right]$.
- On suppose $\ell<1$. Montrer que $x_n^n\to0$ et aboutir à une contradiction. Conclure.
- On admet que $1-t\le e^{-t}$ pour tout réel $t$. Montrer que, pour $n\ge3$, $1-\frac{\ln n}n\le x_n<1$, et retrouver la limite de $(x_n)$.
- Déterminer la limite de $(x_n^n)$.
$f_n$ est continue et strictement croissante : théorème des valeurs intermédiaires.
Utiliser la relation $x_n^n=1-x_n$ dans le calcul de $f_{n+1}(x_n)$.
Comparer $f_{n+1}(x_n)$ et $f_{n+1}(x_{n+1})=0$, puis utiliser la stricte croissance de $f_{n+1}$.
Si $\ell<1$, encadrer $x_n^n$ entre $0$ et $\ell^n$.
Pour la question 5, évaluer le signe de $f_n\left(1-\frac{\ln n}n\right)$.
- $f_n$ est continue et strictement croissante sur $[0,1]$ (somme de $x\mapsto x^n$ croissante et de $x\mapsto x$ strictement croissante). $f_n(0)=-1<0$ et $f_n(1)=1>0$. Par le théorème des valeurs intermédiaires, $f_n$ s'annule sur $[0,1]$, et la stricte monotonie donne l'unicité. Comme $f_n(0)\neq0$ et $f_n(1)\neq0$, $x_n\in]0,1[$.
$x_1$ vérifie $2x-1=0$, donc $x_1=\frac12$. $x_2$ vérifie $x^2+x-1=0$, de racines $\frac{-1\pm\sqrt5}2$ ; la seule dans $[0,1]$ est $x_2=\frac{\sqrt5-1}2\approx0{,}618$.
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Comme $x_n-1=-x_n^n$ : $$f_{n+1}(x_n)=x_n^{n+1}+x_n-1=x_n^{n+1}-x_n^n=x_n^n(x_n-1)<0,$$ car $0<x_n<1$. Ainsi $f_{n+1}(x_n)<0=f_{n+1}(x_{n+1})$, et $f_{n+1}$ est strictement croissante : $x_n<x_{n+1}$.
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$(x_n)$ est croissante et majorée par $1$ : elle converge vers $\ell=\sup_n x_n$. On a $\ell\ge x_1=\frac12$ et $\ell\le1$ par passage à la limite.
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Supposons $\ell<1$. La suite croît vers $\ell$, donc $0<x_n\le\ell$ et $0<x_n^n\le\ell^n$. Comme $0\le\ell<1$, $\ell^n\to0$ et, par encadrement, $x_n^n\to0$. Alors $x_n=1-x_n^n\to1$, donc $\ell=1$ par unicité de la limite : contradiction. Donc $\ell=1$.
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Soit $n\ge3$ et $t=\frac{\ln n}n$. On a $0<\ln n<n$, donc $t\in]0,1[$ et $1-t\in]0,1[$. Comme $0\le1-t\le e^{-t}$, on obtient $(1-t)^n\le e^{-nt}=e^{-\ln n}=\frac1n$. Donc $$f_n(1-t)=(1-t)^n-t\le\frac1n-\frac{\ln n}n=\frac{1-\ln n}n<0,$$ car $\ln3>1$. Ainsi $f_n(1-t)<0=f_n(x_n)$, et la stricte croissance de $f_n$ donne $1-\frac{\ln n}n<x_n<1$. Par croissances comparées, $\frac{\ln n}n\to0$ : l'encadrement redonne $x_n\to1$.
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$x_n^n=1-x_n\to0$.
$x_n\to1$ ; $x_n^n\to0$