Soient $a,b$ deux réels tels que $0<a\le b$. On définit $(u_n)$ et $(v_n)$ par $u_0=a$, $v_0=b$ et, pour tout $n\in\mathbb N$, $$u_{n+1}=\sqrt{u_nv_n},\qquad v_{n+1}=\frac{u_n+v_n}2.$$
- Montrer que les suites sont bien définies et à termes strictement positifs.
- Montrer que $v_{n+1}-u_{n+1}=\frac12\left(\sqrt{v_n}-\sqrt{u_n}\right)^2$ pour tout $n$. En déduire que $u_n\le v_n$ pour tout $n\in\mathbb N$.
- Montrer que $(u_n)$ est croissante et $(v_n)$ décroissante.
- Montrer que $0\le v_{n+1}-u_{n+1}\le\frac{v_n-u_n}2$, puis que les suites sont adjacentes. On note $M(a,b)$ leur limite commune.
- Montrer que $v_{n+1}-u_{n+1}\le\frac{(v_n-u_n)^2}{8a}$ pour tout $n$.
- Dans cette question, $a=1$ et $b=2$. Calculer $u_1$ et $v_1$, puis montrer que $v_3-u_3<10^{-6}$. Donner un encadrement de $M(1,2)$ d'amplitude inférieure à $10^{-3}$ à l'aide de $u_2$ et $v_2$.
Développer $\left(\sqrt{v_n}-\sqrt{u_n}\right)^2$.
Pour la croissance de $(u_n)$ : $u_nv_n\ge u_n^2$.
Pour la question 4, utiliser $u_{n+1}\ge u_n$.
Pour la question 5, écrire $\sqrt{v_n}-\sqrt{u_n}=\frac{v_n-u_n}{\sqrt{v_n}+\sqrt{u_n}}$ et minorer le dénominateur à l'aide de $a$.
Pour la question 6, utiliser $\sqrt2>1{,}414$.
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Par récurrence : $u_0=a>0$, $v_0=b>0$. Si $u_n>0$ et $v_n>0$, alors $u_nv_n>0$, donc $u_{n+1}=\sqrt{u_nv_n}$ est défini et strictement positif, et $v_{n+1}=\frac{u_n+v_n}2>0$.
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Pour tout $n$ : $$v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{u_n+v_n-2\sqrt{u_n}\sqrt{v_n}}2=\frac12\left(\sqrt{v_n}-\sqrt{u_n}\right)^2\ge0.$$ Donc $u_n\le v_n$ pour $n\ge1$, et aussi pour $n=0$ puisque $a\le b$.
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Comme $0<u_n\le v_n$ : $u_{n+1}=\sqrt{u_nv_n}\ge\sqrt{u_n^2}=u_n$ et $v_{n+1}=\frac{u_n+v_n}2\le\frac{v_n+v_n}2=v_n$. Donc $(u_n)$ est croissante et $(v_n)$ décroissante.
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La positivité vient de la question 2. Comme $u_{n+1}\ge u_n$ : $$v_{n+1}-u_{n+1}\le v_{n+1}-u_n=\frac{v_n-u_n}2.$$ Par récurrence, $0\le v_n-u_n\le\frac{b-a}{2^n}$, donc $v_n-u_n\to0$ par encadrement. Avec la question 3, les suites sont adjacentes : elles convergent vers une même limite $M(a,b)$ et $a\le u_n\le M(a,b)\le v_n\le b$.
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Si $u_n=v_n$ les deux membres sont nuls. Sinon, $\sqrt{v_n}-\sqrt{u_n}=\frac{v_n-u_n}{\sqrt{v_n}+\sqrt{u_n}}$. Comme $v_n\ge u_n\ge u_0=a$, on a $\left(\sqrt{v_n}+\sqrt{u_n}\right)^2\ge(2\sqrt a)^2=4a$. D'après la question 2 : $$v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{(v_n-u_n)^2}{2\left(\sqrt{v_n}+\sqrt{u_n}\right)^2}\le\frac{(v_n-u_n)^2}{8a}.$$
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On note $d_n=v_n-u_n$. On a $u_1=\sqrt2$ et $v_1=\frac32$, donc $d_1=\frac32-\sqrt2$. Comme $\sqrt2>1{,}414$, $0<d_1<0{,}086$. Avec $a=1$ : $$d_2\le\frac{d_1^2}8<\frac{0{,}0074}8<10^{-3},\qquad d_3\le\frac{d_2^2}8<\frac{10^{-6}}8<10^{-6}.$$ Enfin $u_2=\sqrt{\frac{3\sqrt2}2}\approx1{,}456475$ et $v_2=\frac{\sqrt2+\frac32}2\approx1{,}457107$. Comme $u_2\le M(1,2)\le v_2$ et $d_2<10^{-3}$ : $$1{,}4564\le M(1,2)\le1{,}4572.$$ L'erreur est grossièrement élevée au carré à chaque étape : la convergence est très rapide.
Suites adjacentes ; $v_3-u_3<10^{-6}$ ; $1{,}4564\le M(1,2)\le1{,}4572$