Exercice 12 · $\int_0^{\pi/2}\ln(\sin t)\,\mathrm dt=-\frac\pi2\ln2$
PremiumConcoursClassique d'oral (Mines-Ponts, Centrale)●●●IntégrabilitéChangement de variableSymétries
On pose $I=\int_0^{\pi/2}\ln(\sin t)\,\mathrm dt$ et $J=\int_0^{\pi/2}\ln(\cos t)\,\mathrm dt$.
- Montrer que $I$ converge.
- Montrer que $I=J$, et que $\int_0^\pi\ln(\sin u)\,\mathrm du=2I$.
- Calculer $I+J$ en utilisant $\sin t\cos t=\frac12\sin(2t)$, et en déduire $I$.
Indice 1
En $0$, $\ln(\sin t)=\ln t+\ln\frac{\sin t}t$.
Indice 2
Pour 2, poser $t=\frac\pi2-s$, puis découper $[0,\pi]$ en $\left[0,\frac\pi2\right]$ et $\left[\frac\pi2,\pi\right]$.
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