Exercice corrigé : L'intégrale de Dirichlet $\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}t\,\mathrm dt=\frac\pi2$

On admet que $\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}t\,\mathrm dt$ converge (exercice précédent) et le lemme de Riemann-Lebesgue : si $h$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $[0,\pi]$, alors $\int_0^\pi h(t)\sin(\lambda t)\,\mathrm dt\to0$ quand $\lambda\to+\infty$.

1. Pour $n\in\mathbb N$ et $t\in]0,\pi]$, on pose $D_n(t)=\frac12+\sum_{k=1}^n\cos(kt)$. Montrer que $D_n(t)=\frac{\sin\left(\left(n+\frac12\right)t\right)}{2\sin\frac t2}$ et que $\int_0^\pi D_n(t)\,\mathrm dt=\frac\pi2$.
2. On admet que $h:t\mapsto\frac1t-\frac1{2\sin(t/2)}$, prolongée par $h(0)=0$, est de classe $\mathcal C^1$ sur $[0,\pi]$. Montrer que $\int_0^\pi\frac{\sin\left(\left(n+\frac12\right)t\right)}t\,\mathrm dt\to\frac\pi2$.
3. Conclure.