Construire un polynôme annulateur à partir d'un autreCaractériser la diagonalisabilité par un annulateur scindé à racines simplesProduire des contre-exemples pertinents
Soit $n\geq1$.
- Soit $A\in\mathrm{GL}_n(\mathbb C)$ telle que $A^2$ soit diagonalisable. Montrer que $A$ est diagonalisable.
- Montrer que l'hypothèse d'inversibilité ne peut pas être supprimée.
- Montrer que le résultat est faux dans $\mathrm{GL}_2(\mathbb R)$ si l'on remplace « diagonalisable » par « diagonalisable dans $\mathcal M_2(\mathbb R)$ ».
- Généraliser la question 1 : si $A\in\mathrm{GL}_n(\mathbb C)$ et $A^p$ est diagonalisable pour un entier $p\geq1$, alors $A$ est diagonalisable.
Indice 1
Écrire $\pi_{A^2}=\prod_{i=1}^r(X-\mu_i)$ et considérer $P(X)=\pi_{A^2}(X^2)$.
Indice 2
Pourquoi les $\mu_i$ sont-ils non nuls ? Combien de racines distinctes a $X^2-\mu$ lorsque $\mu\neq0$ ?
Indice 3
Pour les contre-exemples, penser à une matrice nilpotente et à une rotation.
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