Exercice 14 · Le carré de Cauchy d'une série semi-convergente
PremiumConcoursClassique d'oral (Mines-Ponts, CCINP)●●●Produit de CauchySéries alternéesInégalité arithmético-géométrique
Pour $n\ge0$, on pose $a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}$.
- Montrer que $\sum a_n$ converge mais ne converge pas absolument.
- On note $w_n=\sum_{k=0}^na_ka_{n-k}$. Montrer que $|w_n|=\sum_{k=0}^n\frac1{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}$, puis que $|w_n|\ge1$.
- Conclure. Cela contredit-il le théorème du cours ?
Indice 1
Le signe de $a_ka_{n-k}$ ne dépend que de $n$.
Indice 2
$\sqrt{xy}\le\frac{x+y}2$ pour $x,y\ge0$.
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